Admi-Tec
Difícil
Razones trigonométricas
BECA18 · 2024

Ejercicio de Trigonometría — BECA18

Un ingeniero está elaborando mapas de una región montañosa utilizando un teodolito de 1,8 metros de altura. Desde una posición A, él mide un ángulo de elevación de 64° hacia la cima de una montaña. Luego, se desplaza 140 metros hacia esta montaña hasta llegar a la posición B, donde mide un ángulo de elevación de 76° hacia su cima.

¿Cuál es la altura de la montaña?

(Considera: cot⁡(64°)=0,5\cot(64°) = 0,5 y tan⁡(76°)=4\tan(76°) = 4)

Ver solución paso a paso

Pista: plantea la tangente del ángulo de elevación en cada posición usando la altura de la montaña por encima del nivel del teodolito, y resuelve el sistema formado por las dos distancias.

1. (Sea "hh" la altura de la montaña por encima del nivel del teodolito. Desde la posición A: tan⁡(64°)=hdA\tan(64°)=\dfrac{h}{d_A}, de donde dA=h⋅cot⁡(64°)=0,5hd_A = h\cdot\cot(64°) = 0,5h.)

2. (Desde la posición B: tan⁡(76°)=hdB\tan(76°)=\dfrac{h}{d_B}, de donde dB=htan⁡(76°)=h4=0,25hd_B = \dfrac{h}{\tan(76°)} = \dfrac{h}{4} = 0,25h.)

3. (Como la distancia entre A y B es 140 metros, se cumple dA−dB=140d_A - d_B = 140, es decir, 0,5h−0,25h=1400,5h - 0,25h = 140.)

4. (Resuelve la ecuación: 0,25h=1400,25h=140, entonces h=560h=560 metros, medidos desde el nivel del teodolito.)

5. (La altura total de la montaña se mide desde el suelo, por lo que se debe sumar la altura del teodolito: 560+1,8=561,8560 + 1,8 = 561,8 metros.)