Ejercicio de Gravitación universal

Un satélite, cuando orbita alrededor de un planeta A a una altura " $h$ ", presenta el mismo periodo cuando orbita alrededor de la Tierra a una altura $2R$ (R es el radio de la Tierra). Calcule la razón $h/R$ , si se sabe que la masa del planeta A es 27 veces la masa de la Tierra y sus radios son iguales.

Ver solución paso a paso

Pista: usa la tercera ley de Kepler, que relaciona el periodo orbital con el radio de la órbita y la masa del cuerpo central, e iguala los periodos de ambos casos ya que son iguales según el enunciado.

1. (Aplicamos la tercera ley de Kepler para el planeta A, cuyo satélite orbita a radio $(R+h)$ y masa $27M_T$ .)

$T^2=\frac{4\pi^2(R+h)^3}{G(27M_T)}$

2. (Aplicamos la misma ley para la Tierra, cuyo satélite orbita a radio $(R+2R)=3R$ .)

$T^2=\frac{4\pi^2(3R)^3}{GM_T}$

3. (Como los periodos son iguales, igualamos ambas expresiones y simplificamos los términos comunes $4\pi^2/G$ y $M_T$ .)

$\frac{(R+h)^3}{27}=(3R)^3$

4. (Despejamos $(R+h)^3$ y luego extraemos raíz cúbica.)

$(R+h)^3=27(3R)^3 \Rightarrow R+h=3(3R)=9R$

5. (Despejamos $h$ y calculamos la razón $h/R$ .)

$h=8R \Rightarrow \frac{h}{R}=8$

(Por lo tanto, la razón $h/R$ es 8.)

Ejercicio de Física — UNI