Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: calcula las tres longitudes del triángulo $BMC'$ usando el teorema de Pitágoras en el espacio (diagonales de caras y segmentos que involucran el punto medio $M$), y luego aplica el teorema de cosenos en ese triángulo para hallar $\theta$.)

1. Se identifica el cubo de arista 2. Se calculan las tres longitudes del triángulo $BMC'$:

(Segmento $BM$): como $M$ es punto medio de $DD'$, y usando las coordenadas del cubo, $BM$ resulta ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos relacionados a media diagonal de cara y una arista; su valor es $BM=3$.

(Segmento $MC'$): de manera análoga, aplicando el teorema de Pitágoras entre $M$ y $C'$, se obtiene $MC'=\sqrt5$.

(Segmento $BC'$): al ser diagonal de una cara del cubo de arista 2, $BC' = 2\sqrt2$.

2. Se aplica el teorema de cosenos en el triángulo $BMC'$, usando el ángulo $\theta$ ubicado en el vértice $M$ (opuesto al lado $BC'$): $(BC')^2 = (BM)^2+(MC')^2-2(BM)(MC')\cos\theta$

3. Se reemplazan los valores: $(2\sqrt2)^2 = (3)^2+(\sqrt5)^2-2(3)(\sqrt5)\cos\theta$ $8 = 9+5-6\sqrt5\cos\theta$ $8 = 14-6\sqrt5\cos\theta$

4. Se despeja: $6\sqrt5\cos\theta = 6$, de donde $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt5}$.

5. Finalmente, la secante es el recíproco del coseno: $\sec\theta = \sqrt5$

Respuesta: √5