Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: analiza el comportamiento de $\cos x$ en el intervalo $\langle0;\pi\rangle$: en ese tramo el coseno es estrictamente decreciente, y recuerda que la paridad de una función depende de su dominio, que aquí no es simétrico respecto al origen.)

1. Se traza mentalmente (o se grafica) $f(x)=1+\cos x$ en $\langle0;\pi\rangle$: en $x\to0^+$, $f$ se aproxima a $1+\cos0=2$; en $x\to\pi^-$, $f$ se aproxima a $1+\cos\pi=0$. La función decrece de forma continua entre esos extremos.

2. Proposición I: como $\cos x$ es continua y estrictamente decreciente en $\langle0;\pi\rangle$, también lo es $f(x)=1+\cos x$ (sumar una constante no cambia la monotonía ni la continuidad). Es (V).

3. Proposición II: para que una función sea par, su dominio debe ser simétrico respecto al origen (si $x$ está en el dominio, $-x$ también debe estarlo) y debe cumplir $f(-x)=f(x)$. Aquí el dominio es $\langle0;\pi\rangle$, que no es simétrico respecto al origen (no incluye valores negativos), por lo que $f$ no puede ser par. Es (F).

4. Proposición III: como el dominio es un intervalo abierto $\langle0;\pi\rangle$ (sin incluir los extremos), los valores extremos $f(0)=2$ y $f(\pi)=0$ no se alcanzan realmente; el rango es el intervalo abierto $\langle0;2\rangle$, no el cerrado $[0;2]$. Además, la función es decreciente, no creciente. Por ambas razones, es (F).

5. La secuencia final es VFF.

Respuesta: VFF