Ejercicio de Trigonometría — UNI

(Pista: evalúa primero sen(α) con los valores notables, y luego transforma la expresión pedida a una que dependa solo de sen(α), usando la identidad pitagórica.)

1. (Calculamos sen(α) con los ángulos notables) Con $\tan(\pi/6)=\frac{\sqrt3}{3}$, $\text{sen}(\pi/3)=\frac{\sqrt3}{2}$ y $\sec(\pi/4)=\sqrt2$: $\text{sen}(\alpha) = \frac{\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}} = \frac{\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3}$ Sumando las fracciones del numerador ($\frac{2\sqrt3+3\sqrt3}{6}=\frac{5\sqrt3}{6}$) y dividiendo entre $\sqrt3$: $\text{sen}(\alpha) = \frac{5}{6}$

2. (Transformamos la expresión pedida para que dependa solo de sen(α)) Multiplicamos numerador y denominador por $\cos\alpha$: $\frac{\cos\alpha+\tan\alpha}{\cos\alpha-\tan\alpha} = \frac{\cos^2\alpha+\text{sen}\alpha}{\cos^2\alpha-\text{sen}\alpha}$ Usando la identidad pitagórica $\cos^2\alpha = 1-\text{sen}^2\alpha$: $= \frac{1-\text{sen}^2\alpha+\text{sen}\alpha}{1-\text{sen}^2\alpha-\text{sen}\alpha}$

3. (Reemplazamos $\text{sen}\alpha=5/6$) $= \frac{1-\frac{25}{36}+\frac56}{1-\frac{25}{36}-\frac56}$ Llevando todo a denominador 36: numerador $=\frac{36-25+30}{36}=\frac{41}{36}$, denominador $=\frac{36-25-30}{36}=\frac{-19}{36}$.

4. (Simplificamos) $\frac{41/36}{-19/36} = -\frac{41}{19}$

5. (Concluimos) El resultado es $-\dfrac{41}{19}$, que corresponde a la alternativa A.