Ejercicio de Aritmética — UNI

Pista: las dos últimas cifras en base $15$ determinan el residuo módulo $15^2=225$. Calcula $2^{564}$ módulo $25$ y módulo $9$ y combina ambos resultados.

1. Sea

$$r=\overline{xy}_{(15)},\qquad 0\le r<225.$$

Entonces $r\equiv2^{564}\pmod{225}$.

2. Módulo $25$, como $2^{20}\equiv1$ y $564\equiv4\pmod{20}$:

$$r\equiv2^4=16\pmod{25}.$$

3. Módulo $9$, como $2^6\equiv1$ y $564$ es múltiplo de $6$:

$$r\equiv1\pmod9.$$

4. Los números menores que $225$ congruentes con $16$ módulo $25$ son $16+25k$. Al imponer módulo $9$ se obtiene $k=3$, de modo que

$$r=16+75=91.$$

5. Convertimos $91$ a base $15$:

$$91=6(15)+1=61_{(15)}.$$

Así, $x=6$, $y=1$ y

$$x+y=7.$$

Respuesta: B