Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: usa la propiedad de la resta de un número de tres cifras con su capicúa, y que si el M.C.D. de dos números es 18, ambos son múltiplos de 18.)

1. (Aplicamos la propiedad de la resta $\overline{abc} - \overline{cba}$) Escribimos $\overline{abc} - \overline{cba} = \overline{5xy}$. Por la propiedad de este tipo de resta se cumple que la última cifra es $9$, la cifra central cumple $5 + y = 9$ (de donde $y = 4$), y la primera diferencia de cifras cumple $a - c = 5 + 1 = 6$.

2. (Usamos el dato del M.C.D.) Como el M.C.D. de $\overline{abc}$ y $\overline{cba}$ es 18, ambos números son múltiplos de 18, en particular múltiplos de 2 y de 9. Al ser $\overline{abc}$ múltiplo de 18 (par), su última cifra $c$ debe ser par; de igual forma, como $\overline{cba}$ también es múltiplo de 18, su última cifra $a$ debe ser par.

3. (Determinamos $a$ y $c$) Como $a - c = 6$ y ambos son pares de una sola cifra, la única posibilidad es $a = 8$ y $c = 2$.

4. (Usamos la múltiplicidad de 9) Como $\overline{abc}$ es múltiplo de 9, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 9: $a + b + c = 9k$. Reemplazando, $8 + b + 2 = 9k$, de donde $b = 8$ (tomando $k=2$, ya que $b$ debe ser un dígito).

5. (Calculamos lo pedido) Finalmente, $b - a = 8 - 8 = 0$, que corresponde a la alternativa A.