Ejercicio de Hidrostática — UNI

Un cilindro de madera, con una densidad de $900\ \text{kg/m}^3$ , se encuentra en equilibrio flotando en el agua. Su altura es $H = 30\ \text{cm}$ y el área de su base es $A = 400\ \text{cm}^2$ . El cilindro se sumerge lentamente en el agua por efecto de una fuerza variable $F_y$ aplicada hacia abajo sobre su tapa superior, de tal forma que en todo momento la fuerza neta sobre el cilindro es cero. Determina aproximadamente el trabajo (en J) que realiza $F_y$ para sumergirlo hasta que la tapa superior quede exactamente al nivel del agua. Considera $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Ver solución paso a paso

(Pista: primero halla cuánto del cilindro está sumergido en su posición de equilibrio inicial (igualando el empuje al peso); luego, al sumergirlo una distancia adicional $x$ , plantea cómo varía la fuerza $F_y$ de forma lineal con $x$ , y usa el área bajo la gráfica fuerza-desplazamiento para obtener el trabajo.)

1. (Hallamos la profundidad sumergida en el equilibrio inicial, igualando el empuje con el peso del cilindro.) $\rho_{\text{líq}}\cdot g\cdot A\cdot y = \rho_{\text{madera}}\cdot g\cdot A\cdot H \quad \Rightarrow \quad 1000\cdot y = 900\cdot 30$ $y = 27\ \text{cm}$

2. (Como la altura total es 30 cm y ya hay 27 cm sumergidos, falta sumergir 3 cm adicionales para que la tapa quede al nivel del agua.)

3. (Planteamos la fuerza $F_y$ necesaria para cada profundidad adicional $x$ (con $0 \le x \le 3\ \text{cm}$ ), aplicando el equilibrio de fuerzas verticales.) $F_y = \rho_{\text{líq}}\cdot g\cdot A\cdot(0{,}27+x) - \rho_{\text{madera}}\cdot g\cdot A\cdot 0{,}30$

4. (Evaluamos $F_y$ en los extremos del recorrido: en $x=0$ resulta $F_y=0$ , y en $x=0{,}03\ \text{m}$ obtenemos:) $F_y \approx 11{,}772\ \text{N}$

5. (Como la fuerza varía linealmente entre 0 y 11,772 N a lo largo de los 0,03 m, el trabajo realizado corresponde al área de un triángulo bajo la gráfica $F_y$ contra $x$ .) $W_{F_y} = \dfrac{11{,}772\times 0{,}03}{2} \approx 0{,}18\ \text{J}$

(Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza variable es aproximadamente 0,18 J, alternativa A.)

Ejercicio de Física — UNI