Ejercicio de Funciones trigonométricas inversas

En la primera semana de febrero, la utilidad de una microempresa fue de S/ 1000M, donde M es la suma de los elementos del rango de la función F definida por:

$F(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \dfrac{12}{\pi}\arctan\left(\sec x + \sqrt{\text{sen}^2 x + 3\cos x - 3}\right), \quad x \in \text{Dom}(F)$

Si la utilidad semanal se mantuvo constante durante el mes de febrero, determine la utilidad total que obtuvo la microempresa en ese mes.

Ver solución paso a paso

Idea clave: primero se debe hallar el dominio de la función (donde todas sus partes están definidas), y luego, sobre ese dominio, hallar el rango de F.

Del término $\sqrt{\text{sen}^2 x + 3\cos x - 3}$ se exige que la expresión dentro de la raíz sea no negativa. Al reescribirla en términos de $\cos x$ , se obtiene $(\cos x - 1)(\cos x - 2) \le 0$ , lo que junto con $-1 \le \cos x \le 1$ obliga a que $\cos x = 1$ , es decir, $x = 2n\pi$ , con $n \in \mathbb{Z}$ .
Con $\cos x = 1$ , se tiene $\sec x = 1$ y $\cos(x/2) = \pm 1$ (según la paridad de $n$ ), lo que genera dos posibles valores de F.
Evaluando ambos casos: $F_1(x) = 1 + \dfrac{12}{\pi}\arctan(1) = 1 + \dfrac{12}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{4} = 4$ , y $F_2(x) = -1 + \dfrac{12}{\pi}\arctan(1) = 2$ .
El rango de F es $\{2; 4\}$ , por lo que $M = 2 + 4 = 6$ .
La utilidad semanal es $1000 \times 6 = 6000$ soles, y como febrero tiene 4 semanas, la utilidad mensual es $6000 \times 4 = 24\,000$ soles.

Respuesta: S/ 24 000

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM