Ejercicio de Trigonometría — UNI

Idea clave: la expresión bajo la raíz, $1-2\,\text{sen}\theta\cos\theta$, es un cuadrado perfecto disfrazado — reconocerlo simplifica enormemente el problema, convirtiendo una raíz cuadrada en un simple valor absoluto.

1. Notamos que $1-2\,\text{sen}\theta\cos\theta = \text{sen}^2\theta-2\,\text{sen}\theta\cos\theta+\cos^2\theta = (\text{sen}\theta-\cos\theta)^2$ (usando la identidad pitagórica $\text{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$).

2. Entonces la raíz se simplifica a un valor absoluto: $\sqrt{(\text{sen}\theta-\cos\theta)^2}=|\text{sen}\theta-\cos\theta|$.

3. Para quitar el valor absoluto necesitamos saber el signo de $\text{sen}\theta-\cos\theta$ en el intervalo dado. En $\theta\in\left(\pi;\dfrac{5\pi}{4}\right)$ (tercer cuadrante, primera mitad), ambos seno y coseno son negativos, pero el seno se acerca a 0 más lentamente que el coseno en ese tramo — concretamente, $\text{sen}\theta>\cos\theta$ en todo ese intervalo (se puede verificar comparando sus valores en los extremos: en $\theta=\pi$, sen$=0>$cos$=-1$; en $\theta=\frac{5\pi}{4}$, ambos son iguales a $-\frac{\sqrt2}{2}$).

4. Como $\text{sen}\theta>\cos\theta$ en el intervalo abierto, $|\text{sen}\theta-\cos\theta|=\text{sen}\theta-\cos\theta$.

5. La expresión original se simplifica: $-\cos\theta-\text{sen}\theta-(\text{sen}\theta-\cos\theta)=-\cos\theta-\text{sen}\theta-\text{sen}\theta+\cos\theta=-2\,\text{sen}\theta$.

6. Ahora acotamos $\text{sen}\theta$ en el intervalo dado: como $\theta$ va de $\pi$ (exclusive) a $\dfrac{5\pi}{4}$ (exclusive), $\text{sen}\theta$ decrece de 0 hacia $-\dfrac{\sqrt2}{2}$, es decir $-\dfrac{\sqrt2}{2}<\text{sen}\theta<0$.

7. Multiplicando por $-2$ (la desigualdad se invierte): $0<-2\,\text{sen}\theta<\sqrt2$.

Respuesta: C) $(0;\sqrt2)$