Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: recuerda que toda fracción decimal periódica pura con periodo de 6 cifras tiene como denominador el número 999 999; factoriza ese denominador para simplificar la fracción y encontrar las cifras una por una.)

1. Por ser un decimal periódico puro de 6 cifras, se cumple: $\frac{a}{b} = \frac{\overline{bcdefa}}{999\,999}$

2. Se factoriza el denominador: $999\,999 = 3^3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$.

3. Como $b$ debe ser una cifra de una sola posición y a la vez el denominador de la fracción original, se prueba $b = 7$, de modo que la fracción se simplifica dividiendo entre $3^3 \times 11 \times 13 \times 37$: $a = \frac{\overline{7cdefa}}{3^3 \times 11 \times 13 \times 37} = \frac{\overline{7cdefa}}{142\,857}$

4. Esto exige que $142\,857 \times a = \overline{7cdefa}$. Probando el valor $a = 5$, se obtiene $142\,857 \times 5 = 714\,285$, que en efecto tiene la forma $\overline{7cdefa}$ con $c=1, d=4, e=2, f=8$ y termina en la cifra $a=5$. Así: $a=5,\ b=7,\ c=1,\ d=4,\ e=2,\ f=8$.

5. Se calcula $M$ con las cifras halladas: $M = 5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{1}} = 5 + \frac{1}{8} = \frac{41}{8} \quad\Rightarrow\quad 8M = 41$

6. Se calcula $N$ con las cifras halladas: $N = 4 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{8}} = 4 + \frac{8}{17} = \frac{76}{17} \quad\Rightarrow\quad 17N = 76$

7. Finalmente: $8M + 17N = 41 + 76 = 117$.

Respuesta: 117