Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: convierte cada numeral a base 10 y recuerda que una fracción periódica pura se calcula como la suma de una serie geométrica infinita.)

1. (Evaluamos la proposición I) Pasamos ambos numerales a base 10. Tenemos $101_{(4)} = 1(4)^2 + 0(4) + 1 = 17$ y $24_{(5)} = 2(5) + 4 = 14$. Como $17 \neq 14$, la proposición I es falsa.

2. (Evaluamos la proposición II) Expresamos $0,\widehat{4}_{(5)}$ como una serie geométrica de razón $1/5$: $0,\widehat{4}_{(5)} = \frac{4}{5} + \frac{4}{5^2} + \frac{4}{5^3} + \dots = \frac{4/5}{1 - 1/5} = 1$ Como sí resulta igual a 1, la afirmación de que es distinto de 1 es falsa.

3. (Evaluamos la proposición III) Convertimos ambas fracciones periódicas a fracción generatriz: $0,\widehat{2}_{(5)} = \frac{2_{(5)}}{4_{(5)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, mientras que $0,2_{(4)} = \frac{2_{(4)}}{10_{(4)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Ambas expresiones valen $1/2$, por lo que la proposición es verdadera.

4. (Concluimos) La secuencia obtenida es FFV, correspondiente a la alternativa D.