Sabiendo que: $$\tan(40°+\alpha)\cdot\text{sen}(50°-\alpha)=\cos(10°+\alpha)$$ y $$\tan(2\alpha-5°)\cdot\tan(b)=\tan1°\cdot\tan2°\cdot\tan3°\cdots\tan89°$$ Calcule: $$w=\sec^2(2\alpha+5°)+\tan^2(b+5°)+\csc^2(-\alpha+b-5°)$$

1. Como $\text{sen}(50°-\alpha)=\cos(40°+\alpha)$, la primera ecuación se reduce a $\text{sen}(40°+\alpha)=\cos(10°+\alpha)$. 2. Como $\cos(10°+\alpha)=\text{sen}(80°-\alpha)$: se plantea $40°+\alpha=80°-\alpha$ (complementarios), de donde $2\alpha=40° \Rightarrow \alpha=20°$. 3. El producto $\tan1°\tan2°\cdots\tan89°=1$ (los términos se agrupan en pares complementarios $\tan\theta\tan(90°-\theta)=1$, y $\tan45°=1$). 4. Entonces $\tan(2\alpha-5°)\cdot\tan(b)=1$. Con $\alpha=20°$: $\tan(35°)\tan(b)=1 \Rightarrow \tan(b)=\cot(35°)=\tan(55°) \Rightarrow b=55°$. 5. Se calcula $w$: $\sec^2(45°)+\tan^2(60°)+\csc^2(30°) = 2+3+4=9$. **Respuesta: B) 9**

Ejercicio de Identidades trigonométricas

Sabiendo que: $\tan(40°+\alpha)\cdot\text{sen}(50°-\alpha)=\cos(10°+\alpha)$

$\tan(2\alpha-5°)\cdot\tan(b)=\tan1°\cdot\tan2°\cdot\tan3°\cdots\tan89°$

Calcule: $w=\sec^2(2\alpha+5°)+\tan^2(b+5°)+\csc^2(-\alpha+b-5°)$

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Como $\text{sen}(50°-\alpha)=\cos(40°+\alpha)$ , la primera ecuación se reduce a $\text{sen}(40°+\alpha)=\cos(10°+\alpha)$ .
Como $\cos(10°+\alpha)=\text{sen}(80°-\alpha)$ : se plantea $40°+\alpha=80°-\alpha$ (complementarios), de donde $2\alpha=40° \Rightarrow \alpha=20°$ .
El producto $\tan1°\tan2°\cdots\tan89°=1$ (los términos se agrupan en pares complementarios $\tan\theta\tan(90°-\theta)=1$ , y $\tan45°=1$ ).
Entonces $\tan(2\alpha-5°)\cdot\tan(b)=1$ . Con $\alpha=20°$ : $\tan(35°)\tan(b)=1 \Rightarrow \tan(b)=\cot(35°)=\tan(55°) \Rightarrow b=55°$ .
Se calcula $w$ : $\sec^2(45°)+\tan^2(60°)+\csc^2(30°) = 2+3+4=9$ .

Respuesta: B) 9

Ejercicio de Trigonometría