Admi-Tec
Difícil
Identidades trigonométricas para el ángulo doble
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

La figura muestra un sistema de coordenadas rectangulares XY cuya única escala es 10 cm. Sobre el origen de coordenadas se ubica una hormiga, la cual se dirige en línea recta al punto P(A,B), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 8 sen3xcos⁡x=A2sen 2x+B3sen 4x8\,\mathrm{sen}^3x\cos x = \dfrac{A}{2}\mathrm{sen}\,2x + \dfrac{B}{3}\mathrm{sen}\,4x. Determine, en centímetros, la distancia recorrida por la hormiga.

Ver solución paso a paso
  1. Partimos de la identidad 8 sen3xcos⁡x=2(2 sen2x)(2 sen xcos⁡x)=2(1−cos⁡2x)(sen 2x)=2 sen 2x−2 sen 2xcos⁡2x8\,\mathrm{sen}^3x\cos x = 2(2\,\mathrm{sen}^2x)(2\,\mathrm{sen}\,x\cos x) = 2(1-\cos 2x)(\mathrm{sen}\,2x) = 2\,\mathrm{sen}\,2x - 2\,\mathrm{sen}\,2x\cos 2x.
  2. Como 2 sen 2xcos⁡2x=sen 4x2\,\mathrm{sen}\,2x\cos 2x = \mathrm{sen}\,4x, la expresión se reduce a 2 sen 2x−sen 4x2\,\mathrm{sen}\,2x - \mathrm{sen}\,4x.
  3. Igualando con A2sen 2x+B3sen 4x\dfrac{A}{2}\mathrm{sen}\,2x + \dfrac{B}{3}\mathrm{sen}\,4x, se obtiene A2=2⇒A=4\dfrac{A}{2}=2 \Rightarrow A=4 y B3=−1⇒B=−3\dfrac{B}{3}=-1 \Rightarrow B=-3.
  4. El punto PP tiene coordenadas (4,−3)(4,-3); la distancia del origen a PP es 42+(−3)2=25=5\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5 unidades de escala.
  5. Como cada unidad de escala equivale a 10 cm, la distancia recorrida es 5×10=505\times10=50 cm.

Respuesta: C (50)