Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: expresa cada término como fracción generatriz usando los denominadores 333 y 999, y luego iguala numeradores.)

1. (Convertimos el lado izquierdo a un denominador común) Como $37 \times 9 = 333$, escribimos $\frac{a}{37} + \frac{n}{9} = \frac{9a + 37n}{333}$

2. (Interpretamos el lado derecho como fracción periódica pura de tres cifras) El numeral $0,\overline{(n+1)a0}$ tiene periodo de tres cifras, por lo que su generatriz es $0,\overline{(n+1)a0} = \frac{\overline{(n+1)a0}}{999}$ y como $999 = 3 \times 333$, igualamos: $\frac{9a + 37n}{333} = \frac{\overline{(n+1)a0}}{999} \;\Rightarrow\; 3(9a+37n) = \overline{(n+1)a0}$

3. (Desarrollamos el numeral de la derecha) El numeral $\overline{(n+1)a0}$, en base 10, equivale a $100(n+1) + 10a + 0$. Entonces: $27a + 111n = 100(n+1) + 10a$ $27a + 111n = 100n + 100 + 10a$ $17a + 11n = 100$

4. (Resolvemos la ecuación diofántica) Buscamos dígitos $a$ y $n$ que cumplan $17a + 11n = 100$. Probando $a = 2$ obtenemos $34 + 11n = 100$, de donde $n = 6$, valores que sí son dígitos válidos.

5. (Calculamos lo pedido) Por lo tanto, $n + a = 6 + 2 = 8$, que corresponde a la alternativa C.