Admi-Tec
Difícil
Identidades trigonométricas
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

Al ser consultado por la edad de su hijo, Luis responde: «El número que representa la edad de mi hijo puede ser calculado si en la expresión (tan⁡13x−tan⁡8x−tan⁡5xtan⁡13xtan⁡8xsen⁡5x)\left(\frac{\tan 13x-\tan 8x-\tan 5x\tan 13x\tan 8x}{\operatorname{sen}5x}\right) el valor de "x" es igual a π15\dfrac{\pi}{15}». ¿Cuántos años tiene el hijo de Luis?

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  1. Se reescribe 5x5x como 13x−8x13x-8x y se aplica la identidad de la tangente de una diferencia: tan⁡(13x−8x)=tan⁡13x−tan⁡8x1+tan⁡13xtan⁡8x\tan(13x-8x)=\dfrac{\tan13x-\tan8x}{1+\tan13x\tan8x}, de donde tan⁡13x−tan⁡8x−tan⁡13xtan⁡8xtan⁡(13x−8x)=tan⁡(13x−8x)\tan13x-\tan8x-\tan13x\tan8x\tan(13x-8x)=\tan(13x-8x).
  2. Con esto, el numerador de la expresión original se simplifica a tan⁡(13x−8x)=tan⁡5x\tan(13x-8x)=\tan5x, quedando: E=tan⁡5xsen⁡5x=sen⁡5x/cos⁡5xsen⁡5x=1cos⁡5x=sec⁡5xE=\frac{\tan5x}{\operatorname{sen}5x}=\frac{\operatorname{sen}5x/\cos5x}{\operatorname{sen}5x}=\frac{1}{\cos5x}=\sec5x
  3. Se reemplaza x=π15x=\dfrac{\pi}{15}: E=sec⁡(5⋅π15)=sec⁡(π3)E=\sec\left(5\cdot\dfrac{\pi}{15}\right)=\sec\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
  4. Como cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, se obtiene E=sec⁡(π3)=2E=\sec\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2.
  5. Por lo tanto, el hijo de Luis tiene 2 años.

Respuesta: E