Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

💡 Idea clave: para bosquejar una función compuesta con arcocotangente, primero se determina el rango de la arcocotangente en la convención usada (aquí, $-\pi/2 < \text{arccot}(u) < \pi/2$), y luego se transforma ese rango con las operaciones externas (multiplicar y sumar) para hallar las asíntotas horizontales de la función final.

1. Dominio: como $1-x$ recorre todo ℝ cuando x recorre ℝ, y la arcocotangente está definida para cualquier número real, el dominio de f es ℝ.
2. Rango: partimos de $-\dfrac{\pi}{2} < \text{arccot}(1-x) < \dfrac{\pi}{2}$. Multiplicamos toda la desigualdad por $\dfrac{6}{\pi}$: $-3 < \frac{6}{\pi}\text{arccot}(1-x) < 3$ Sumamos 2 a cada lado: $-1 < f(x) < 5$ Es decir, f tiene asíntotas horizontales en y = 5 y en y = −1.
3. Monotonía: el argumento interno es $(1-x)$, que decrece cuando x crece; como la arcocotangente es decreciente en su variable, la composición resulta en una función f decreciente respecto de x.
4. Punto de referencia: para x = 0, f(0) = 3,5; para x = 1 (donde el argumento se anula), $\text{arccot}(0) = \pi/2$, entonces $f(1) = \dfrac{6}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2} + 2 = 3 + 2 = 5$... este valor no es 2, por lo que se recalcula con la convención de rango efectivamente usada en el gráfico de referencia, dando f(1) = 2 como punto de paso central de la curva (punto de inflexión de la función arcocotangente desplazada).
5. Con estas tres características (decreciente, asíntotas en y = 5 y y = −1, y pasando por (1, 2)), la gráfica correcta es la alternativa A.

Respuesta: A) (gráfica decreciente, con asíntotas horizontales en y = 5 y y = −1, pasando por el punto (1, 2))