Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

El truco en este tipo de función es siempre buscar una identidad pitagórica escondida ($\sin^2x = 1-\cos^2x$) que permita convertir todo a una sola variable, $\cos x$, y luego factorizar.

1. Sustituimos $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ en el numerador: $6\cos x + 10 - (1-\cos^2 x) = \cos^2 x + 6\cos x + 9 = (\cos x+3)^2$
2. El denominador se factoriza como $\cos^2 x+5\cos x+6 = (\cos x+3)(\cos x+2)$.
3. Simplificando (cancelando el factor común $\cos x + 3$): $f(x) = \frac{\cos x+3}{\cos x+2} = 1 + \frac{1}{\cos x+2}$
4. Como $\cos x \in [-1,1]$, el denominador $\cos x + 2$ varía entre $1$ y $3$, así que $\dfrac{1}{\cos x+2}$ varía entre $\dfrac{1}{3}$ y $1$.
5. Entonces $f(x)$ varía entre $1+\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$ y $1+1=2$; el rango es $\left[\dfrac{4}{3}, 2\right]$, con $a=\dfrac{4}{3}$ y $b=2$.
6. La temperatura es: $T = \left(3\cdot\frac{4}{3}+1\right)^2 = (4+1)^2 = 5^2 = 25\ °C$