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Probabilidades
UNI · 2025

Ejercicio de Aritmética — UNI

Tres amigas llegan al cine y se van a sentar juntas; Miguel y Roberto son amigos, van al mismo cine y también se van a sentar juntos; simultáneamente, llegaron cinco personas desconocidas. El único espacio libre que queda es una fila de 10 butacas y todos se sientan en dicha fila. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres amigas se sienten juntas y a la vez Miguel y Roberto también se sienten juntos?

Ver solución paso a paso

(Pista: cuenta el espacio muestral como todas las formas de sentar a 10 personas en fila, y el evento favorable tratando a cada grupo que debe permanecer junto como un solo bloque.)

1. (Planteamos el espacio muestral) Ubicar a las 10 personas en las 10 butacas de la fila se puede hacer de n(Ω)=10!n(\Omega) = 10! formas distintas.

2. (Planteamos el evento favorable) Para que las tres amigas queden juntas, las tratamos como un solo bloque (que internamente se puede ordenar de 3!3! formas). De igual manera, Miguel y Roberto forman otro bloque (que se ordena de 2!2! formas). Junto con las 5 personas desconocidas, en total tenemos 7 "unidades" para acomodar en la fila (el bloque de amigas, el bloque de Miguel y Roberto, y las 5 personas sueltas), lo cual se hace de 7!7! formas. Entonces: n(A)=7!×3!×2!n(A) = 7! \times 3! \times 2!

3. (Calculamos la probabilidad) P(A)=n(A)n(Ω)=7!×3!×2!10!P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{7! \times 3! \times 2!}{10!} Simplificando, como 10!=10×9×8×7!10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7!: P(A)=3!×2!10×9×8=6×2720=12720=160P(A) = \frac{3! \times 2!}{10 \times 9 \times 8} = \frac{6 \times 2}{720} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60}

4. (Concluimos) La probabilidad pedida es 160\dfrac{1}{60}, que corresponde a la alternativa A.