Admi-Tec
Difícil
Ecuaciones trigonométricas
UNI

Ejercicio de Trigonometría — UNI

En el triángulo descrito se cumple

sin⁡4x+cos⁡4x=78,0<x<π4.\sin^4x+\cos^4x=\frac78, \qquad 0<x<\frac\pi4.

Calcule el área del triángulo, en m2\text{m}^2.

Ver solución paso a paso

Pista: convierte sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4x+\cos^4x usando (sin⁡2x+cos⁡2x)2(\sin^2x+\cos^2x)^2 para hallar primero xx.

1. Usamos

sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x.\sin^4x+\cos^4x =(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x.

Entonces

1−2sin⁡2xcos⁡2x=78.1-2\sin^2x\cos^2x=\frac78.

De aquí,

2sin⁡2xcos⁡2x=18.2\sin^2x\cos^2x=\frac18.

Como sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x:

sin⁡22x=4sin⁡2xcos⁡2x=14.\sin^22x=4\sin^2x\cos^2x=\frac14.

2. Dado que 0<x<π40<x<\frac\pi4, se tiene 0<2x<π20<2x<\frac\pi2, por lo que

sin⁡2x=12⇒2x=30∘⇒x=15∘.\sin2x=\frac12\Rightarrow2x=30^\circ\Rightarrow x=15^\circ.

Los ángulos de la base son 30∘30^\circ y 15∘15^\circ.

3. Desde el vértice superior trazamos la altura a la base. El lado de 1010 m forma 30∘30^\circ con la base, así que

h=10sin⁡30∘=5.h=10\sin30^\circ=5.

La proyección izquierda es

10cos⁡30∘=53.10\cos30^\circ=5\sqrt3.

La proyección derecha vale

5cot⁡15∘=5(2+3).5\cot15^\circ=5(2+\sqrt3).

Por tanto, la base total es

53+5(2+3)=10+103.5\sqrt3+5(2+\sqrt3)=10+10\sqrt3.

4. El área es

A=12(10+103)(5)=25(1+3).A=\frac12(10+10\sqrt3)(5) =25(1+\sqrt3).

Respuesta: E