Admi-Tec
Difícil
Análisis combinatorio
UNI

Ejercicio de Aritmética — UNI

Dado n∈Nn\in\mathbb N, se denota por E(n)E(n) al conjunto de números naturales cuyas cifras son diferentes de 11 y cuyo producto de cifras es nn. Por ejemplo,

E(12)={26,34,43,62,223,232,322}.E(12)=\{26,34,43,62,223,232,322\}.

Determine la cantidad de elementos de E(48)E(48).

Ver solución paso a paso

Pista: factoriza 48=24⋅348=2^4\cdot3 y enumera todas las descomposiciones posibles en cifras de 22 a 99; después cuenta las permutaciones distintas de cada multiconjunto de cifras.

1. Las factorizaciones en dos cifras son (6,8)(6,8), que producen

2!=22!=2

números.

2. Con tres cifras aparecen (2,4,6)(2,4,6), (3,4,4)(3,4,4) y (2,3,8)(2,3,8). Sus cantidades son

3!=6,3!2!=3,3!=6.3!=6,\qquad \frac{3!}{2!}=3,\qquad 3!=6.

3. Con cuatro cifras aparecen (2,2,2,6)(2,2,2,6) y (2,2,4,3)(2,2,4,3):

4!3!=4,4!2!=12.\frac{4!}{3!}=4,\qquad \frac{4!}{2!}=12.

4. Con cinco cifras solo aparece (2,2,2,2,3)(2,2,2,2,3):

5!4!=5.\frac{5!}{4!}=5.

5. Sumando todos los casos:

2+6+3+6+4+12+5=38.2+6+3+6+4+12+5=38.

Respuesta: B