Ejercicio de Números primos — UNMSM

La edad actual en años de Pedro es $\overline{ab}$ . Él vende una de sus casas a S/ $9^b\times49^a$ . Si dicha cantidad es dividida entre 3, su cantidad de divisores positivos disminuye en 7. En cambio, si se la multiplica por 7, su cantidad de divisores positivos aumenta en 5. Determine la suma de las cifras de la edad actual de Pedro.

Ver solución paso a paso

Expresamos el precio de la casa en función de sus factores primos: $9^b\times49^a = 3^{2b}\times7^{2a} = N$ ; entonces $CD(N)=(2b+1)(2a+1)$ .
Al dividir entre 3: $\dfrac{N}{3}=3^{2b-1}\times7^{2a}$ , con $CD\left(\dfrac{N}{3}\right)=(2b)(2a+1)$ .
Del primer dato: $CD(N)-CD\left(\dfrac{N}{3}\right)=7$ , es decir, $(2b+1)(2a+1)-(2b)(2a+1)=7$ , que se simplifica a $(2a+1)=7$ , de donde $a=3$ .
Al multiplicar por 7: $7N=3^{2b}\times7^{2a+1}$ , con $CD(7N)=(2b+1)(2a+2)$ .
Del segundo dato: $CD(7N)-CD(N)=5$ , es decir, $(2b+1)(2a+2)-(2b+1)(2a+1)=5$ , que se simplifica a $(2b+1)=5$ , de donde $b=2$ .
Entonces la edad de Pedro es $\overline{ab}=32$ años, y la suma de sus cifras es $3+2=5$ . Respuesta: 5.

Ejercicio de Aritmética — UNMSM