Ejercicio de Razones y proporciones

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números naturales. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{9}{4}$ , entonces $\sqrt{\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}} = \dfrac{3}{2}$ .

II. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ , entonces $\dfrac{a+c}{b+d} = k$ .

III. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , entonces $\dfrac{a+2b}{b} = \dfrac{c+2d}{d}$ .

Indique la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

(Pista: aplica directamente la propiedad de proporciones equivalentes: si dos razones son iguales a $k$ , cualquier combinación lineal de numeradores sobre la misma combinación de denominadores también vale $k$ .)

1. (Evaluamos la proposición I) Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{9}{4}$ , entonces también se cumple $\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = \dfrac{81}{16}$ , y por propiedad de proporciones, $\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \dfrac{81}{16}$ . Al sacar raíz cuadrada obtenemos $\dfrac{9}{4}$ , no $\dfrac{3}{2}$ . Por lo tanto, la proposición es falsa.

2. (Evaluamos la proposición II) Esta es la propiedad estándar de las proporciones: si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ , entonces cada término es proporcional a $k$ ( $a = bk$ , $c = dk$ ), así que $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{bk+dk}{b+d} = k$ . La proposición es verdadera.

3. (Evaluamos la proposición III) Partiendo de $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , sumamos 2 a ambos lados: $\dfrac{a}{b} + 2 = \dfrac{c}{d} + 2$ , es decir, $\dfrac{a+2b}{b} = \dfrac{c+2d}{d}$ . La proposición es verdadera.

4. (Concluimos) La secuencia es FVV, que corresponde a la alternativa D.

Ejercicio de Aritmética — UNI