Ejercicio de Aritmética — UNI

Idea clave: en una raíz cuadrada entera, el número original se descompone como $N=k^2+r$, donde $k$ es la raíz entera y $r$ el residuo. Aquí nos dan el residuo y nos piden maximizar $N$ dentro de un rango fijo — así que el problema realmente se reduce a maximizar $k$.

1. Primero identificamos el residuo: el menor número de 5 cifras en base 4 es $\overline{10000}_{(4)}$, que en base 10 vale $4^4=256$. Este es nuestro residuo $r=256$.

2. Recordemos la restricción que debe cumplir todo residuo por defecto en una raíz cuadrada: $0\leq r\leq2k$, es decir $r<2k+1$. Con $r=256$: $256<2k+1 \Rightarrow k>127,5$.

3. Como $N=k^2+256$ debe seguir siendo un número de 5 cifras (es decir, $N<100\,000$): $k^2<100\,000-256=99\,744 \Rightarrow k<315,82\ldots$

4. Buscamos el mayor $N$, así que conviene tomar el mayor $k$ entero posible dentro de ese rango: $k=315$.

5. Calculamos $N_{máx}=315^2+256=99\,225+256=99\,481$.

6. La suma de las cifras de 99 481 es $9+9+4+8+1=31$.

Respuesta: E) 31