Admi-Tec
Difícil
Transformaciones trigonométricas
UNMSM · 2025

Ejercicio de Trigonometría — UNMSM

En su testamento, un padre deja cierta cantidad de dinero, en miles de soles, para ser repartida entre sus dos hijos. El mayor recibirá S/ 20 000 (cos(A + 30º) + cos(B + 30º)) y el menor, S/ 30 000 (sen(A + 60º) + sen(B + 60º)), donde A + B = 60º. Determine la razón entre las cantidades de dinero que recibirán los hermanos (mayor entre menor).

Ver solución paso a paso
  1. Llamamos M a la herencia del hijo mayor y N a la del hijo menor; nos piden M/N.
  2. Aplicamos la fórmula de transformación de suma a producto tanto en el numerador como en el denominador: cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x+\cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) y sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x+\sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
  3. En ambos casos aparece el factor común cos⁡(A−B2)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right), que se cancela al dividir.
  4. Usando que A + B = 60°, el argumento común que queda en el numerador es A+B2+30°=30°+30°=60°\frac{A+B}{2}+30°=30°+30°=60°, y en el denominador es A+B2+60°=30°+60°=90°\frac{A+B}{2}+60°=30°+60°=90°.
  5. Entonces: MN=20 000×2cos⁡(60°)cos⁡(A−B2)30 000×2sin⁡(90°)cos⁡(A−B2)=20 000×1230 000×1=13\dfrac{M}{N}=\dfrac{20\,000\times 2\cos(60°)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{30\,000\times 2\sin(90°)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}=\dfrac{20\,000\times \tfrac{1}{2}}{30\,000\times 1}=\dfrac{1}{3}. Respuesta: 1/3.