Ejercicio de Divisibilidad — UNI

Se sabe que $\overline{ab}!$ (el factorial del número de dos cifras $\overline{ab}$ ) es múltiplo de 8, 10 y 111, y que además dicho factorial puede escribirse como el número de varias cifras:

$\overline{ab}! = \overline{(2b)\,c\,(c+2)\,d\,d\,a\,(3b)\,d\,d}$

donde cada bloque entre paréntesis representa dos cifras consecutivas. Determine el valor de $5a + 4b - c$ .

Ver solución paso a paso

(Pista: trabaja los criterios de divisibilidad de derecha a izquierda: primero el de 10, que fija la última cifra; luego el de 8, que depende de las tres últimas cifras; después el de 11, con la suma alternada de cifras; y finalmente el de 9, para hallar la cifra que falta.)

1. Como el factorial es múltiplo de 10, su última cifra debe ser 0. Esto obliga a que $d = 0$ .

2. Como también es múltiplo de 8, el bloque formado por las tres últimas cifras, $\overline{(3b)dd}$ , debe ser múltiplo de 8. Reemplazando $d = 0$ y probando valores, se llega a que $b = 2$ .

3. Aplicando el criterio de divisibilidad entre 11 (suma alternada de cifras, comenzando por la derecha) sobre el número completo, y simplificando la expresión resultante, se obtiene la ecuación $12 - a$ es múltiplo de 11, de donde $a = 1$ .

4. El enunciado también exige que el factorial sea múltiplo de 9 (pues $\overline{ab}!$ con $a=1, b=2$ corresponde a $12!$ , que es múltiplo de 9 por contener los factores 3 y 6, entre otros). Aplicando el criterio de divisibilidad entre 9 (suma de cifras) a la cadena numérica con los valores ya hallados, se obtiene la ecuación $2c + 13$ es múltiplo de 9, de donde $c = 7$ .

5. Finalmente, se reemplaza en la expresión pedida: $5a + 4b - c = 5(1) + 4(2) - 7 = 5 + 8 - 7 = 6$

Respuesta: 6

Ejercicio de Aritmética — UNI