Ejercicio de Aritmética — UNI

(Pista: aplica un criterio de divisibilidad entre 8 sobre la igualdad para hallar primero la cifra $a$, y luego expande ambos numerales en base 10 para hallar las cifras restantes.)

1. Se aplica el criterio de divisibilidad entre 8 a ambos miembros de la igualdad (trabajando con las expresiones polinómicas de cada numeral). Al simplificar, se obtiene la ecuación $2a$ es múltiplo de 8, de donde $a = 4$.

2. Con $a = 4$, la igualdad queda $\overline{4bc}_{(9)} = \overline{c4b}_{(7)} + 48$. Se expande cada numeral según su base: $4 \cdot 9^2 + b \cdot 9 + c = c \cdot 7^2 + 4 \cdot 7 + b + 48$

3. Se simplifica la ecuación: $324 + 9b + c = 49c + 28 + b + 48$ $248 + 8b = 48c$ $31 + b = 6c$

4. Se buscan cifras $b$ y $c$ (entre 0 y 6, pues la base menor es 7) que cumplan la ecuación. Se encuentra que $b = 5$ y $c = 6$ satisfacen la igualdad ($31 + 5 = 36 = 6 \times 6$).

5. Se reemplaza en el numeral original: $N = \overline{456}_{(9)}$, y se expande a base 10: $N = 4 \cdot 9^2 + 5 \cdot 9 + 6 = 324 + 45 + 6 = 375$

6. Finalmente, se suman las cifras de $N = 375$: $3 + 7 + 5 = 15$.

Respuesta: 15