Ejercicio de Geometría — UNMSM

1. Sea $O$ el centro de la elipse. Como $EF = 120$, el semieje menor es $b = 60$; como $V_1V_2 = 200$, el semieje mayor es $a = 100$.
2. Ubicamos $O$ como origen, con el eje mayor sobre el eje $x$ y el eje menor sobre el eje $y$ (de modo que $E = (0, 60)$ y $F = (0,-60)$).
3. Como $MF = 80$ y $F$ está a $60$ unidades del centro $O$ sobre el eje $y$, hallamos primero $ME$ (la distancia de $M$ a $E$ a lo largo del mismo eje vertical): $ME = EF - MF = 120 - 80 = 40$
4. Como $EO = 60$ y $ME = 40$, la distancia de $M$ al centro $O$ (sobre el eje $y$) es: $MO = EO - ME = 60 - 40 = 20$
5. El rectángulo $ABCD$ es simétrico respecto de ambos ejes de la elipse, así que el vértice $C$ tiene coordenadas $(d, 20)$, donde $d$ es la mitad de $BC$ (la mitad del lado horizontal del rectángulo), y ese punto $C$ debe satisfacer la ecuación de la elipse: $\frac{x^2}{100^2} + \frac{y^2}{60^2} = 1$
6. Reemplazando $C = (d, 20)$: $\frac{d^2}{10000} + \frac{400}{3600} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{d^2}{10000} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ $d^2 = \frac{80000}{9} \;\Rightarrow\; d = \frac{200\sqrt{2}}{3}$
7. Como $BC = 2d$: $BC = \frac{400\sqrt{2}}{3} \text{ cm}$

Respuesta: $\dfrac{400\sqrt{2}}{3}$ cm.