Geometría

Una casa de retiro tiene dos ventanas circulares congruentes, dispuestas una encima de la otra y unidas por una franja vertical, tal como se muestra en la figura. Un soporte conecta el punto A (a la derecha) con los puntos B y C de la circunferencia superior, siendo B y C puntos de tangencia entre esa circunferencia y los soportes AB y AC. Si la medida del arco BPC (el arco mayor que pasa por P, en el lado opuesto a A) es igual a cinco veces la medida del angulo <BAC, halle la medida del angulo que determinan los soportes AB y AC.

En la figura, $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ representan conexiones de tuberias instaladas en forma perpendicular. Si la pendiente de la recta que contiene a $\overline{AB}$ mide $\tan(120°)$, $A(0;\ 8\sqrt{3})$ y $C(0;\ 4\sqrt{3})$, halle la suma de las coordenadas del punto de interseccion de dichas tuberias.

En caso de un sismo, existe una zona de seguridad en forma de circulo, tal como se muestra en la figura. Dos estudiantes se encuentran ubicados en los puntos $A$ y $B$, que pertenecen a la circunferencia cuya ecuacion es $x^2 + y^2 = 25$. Si la recta que contiene a $\overline{AB}$ tiene por ecuacion $x - 7y + 25 = 0$, halle la distancia, en metros, entre los estudiantes.

En la figura se representan los brazos $\overline{OB}$ y $\overline{OC}$ de una grua, ambos partiendo de un punto $O$ sobre una linea horizontal $AD$ (con $A$ a la izquierda y $D$ a la derecha de $O$). Se cumple que:

$m\angle AOC - m\angle BOD = m\angle COD$

Si el angulo $\angle AOB$ es agudo, halle el maximo valor entero de la medida del angulo $\angle COD$.

Un colector de desechos tiene coordenadas $A(2;-1)$, $B(7;-1)$ y $C(7;3)$. Si ABCD es un rectángulo, halle la tangente del ángulo $\alpha$ determinado por las rectas que contienen a los soportes $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$.

Un operario realiza instalaciones eléctricas, como se muestra en la figura. Si $RP = \sqrt{7}$ m, $MP = \sqrt{11}$ m y H es ortocentro del triángulo MNP, halle la longitud, en metros, de la canaleta MR.

En el campo deportivo de un colegio, tres alumnos se ubican en los puntos M, N y Q, y su profesor se ubica en el punto R, de modo que dista 4 m de M y 9 m de N. Halle el mínimo recorrido perimetral de medida entera del camino MNQM.

Un parque está limitado por una vereda elíptica con $F_1$ y $F_2$ como focos, de vértices A y B, de centro O y $\overline{PQ}$ como eje menor. Si $OB^2 = 480(F_1O)$ y la ecuación de dicha vereda es $\dfrac{x^2}{22400-k}+\dfrac{y^2}{8000-k}=1$, halle la ecuación de la recta paralela a $\overline{PF_2}$ que pasa por B.

La figura representa una región de cultivo que tiene la forma de un círculo dividido en zonas de sembríos. Si $m\widehat{BC} = 50°$, $m\angle BNC = 40°$ y O es circuncentro del triángulo ABC, halle la medida del ángulo AOC que forman los linderos $\overline{AO}$ y $\overline{OC}$.

La figura muestra una circunferencia con puntos A, B, C sobre ella, M también sobre la circunferencia, O como circuncentro (centro), y N como la intersección de las cuerdas AC y BM en el interior.

La figura muestra parte de una estructura metálica en la que $AB = 60$ cm, $BC = 30\sqrt{2}$ cm, $AD = 30\sqrt{3}$ cm y $DC = 30$ cm. Halle la medida del ángulo BAD que forman las varillas $\overline{AB}$ y $\overline{AD}$.

La figura es un triángulo ABC con D sobre el lado AC, y B es el vértice superior, formando dos triángulos ABD y BDC.

La figura representa un adorno transparente en elaboración, que, inicialmente, parte de la forma de una esfera. Luego de retirar el segmento esférico inferior de altura $\overline{HM}$, el adorno queda terminado y con una base. Si en una sección circular máxima de la esfera se inscribe una región triangular equilátera ABC de área $12\sqrt{3}$ cm² y $HM = 1$ cm, halle el volumen, en centímetros cúbicos, del sólido que fue retirado para terminar el adorno.

Nota: Considere O como centro de la esfera.

Nota: Este ejercicio requiere una imagen/figura (el triángulo ABC con las cevianas AN, CM y BH) del PDF original que no ha sido extraída. Debe añadirse manualmente antes de importar.

La figura representa el plano de un parque en el que AN, CM y BH suponen veredas. Si AN y CM son bisectrices de los ángulos A y C, respectivamente, m∠BAC = 53° y AB = 36 m, calcule la distancia aproximada, en metros, que una persona debe recorrer para desplazarse desde el punto P al punto Q, sobre la vereda BH (siendo P y Q los puntos donde CM y AN, respectivamente, cortan a la altura BH).

En un terreno en forma de rectángulo ABCD (con B y C en la parte superior, A y D en la parte inferior), un agricultor ha construido los canales de regadío AP, BP, PC y PD, donde P es el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Si BP = 6 m, PC = 9 m y AP = 5 m, calcule la longitud, en metros, del canal de regadío PD.

En un trozo de triplay en forma de trapecio ABCD, con BC paralelo a AD, se trazan las líneas de corte BD y AC, que se cruzan en el punto M. Si BC = 80 cm, AB = 120 cm y AD = 160 cm, calcule el área del trozo de triplay BMC (el triángulo formado por el vértice B, el vértice C y el punto de cruce M).

Empleando un cartón, se cubre la superficie lateral de un adorno que tiene la forma de un cono circular recto; dicho adorno tiene $40\sqrt{2}$ cm de altura. Dado que el cartón tiene la forma de sector circular con ángulo central de 120°, calcule el área del cartón.

Cinco amigos salen a jugar al parque y se ubican en los puntos correspondientes a la primera letra de su nombre (A, B, C, D, E). Ernesto (E) está en una posición de manera que su distancia hacia Carlos (C), Abel (A), Beto (B) y David (D) es la misma, formando un cuadrilátero ABCD con E como punto interior equidistante de sus cuatro vértices. Si $m\angle ADC = 132^\circ$, calcule $m\angle ABC$.

La figura representa el diseño de una ventana rectangular ABCD de una iglesia, donde $\overline{AD}$ es diámetro de una semicircunferencia. Si AD = 1 m, AB = 60 cm y BP = PC, calcule el área de la región triangular BPC.

En la figura, se muestra un terreno que tiene la forma de un polígono equiángulo ABCDEF. Si AB = 20 m, BC = 30 m, DC = 50 m y ED = 40 m, calcule el perímetro del terreno en metros.

En una pirámide regular V-ABCD, todas las aristas son congruentes. En $\overline{AD}$ y $\overline{CD}$ se ubican los puntos E y F, respectivamente, tal que $\overline{BE}$ interseca a $\overline{AF}$ en el punto G. Si DE = 3 u y las áreas de las regiones triangulares AGE y BFG son $\dfrac{9}{5}$ u² y $\dfrac{54}{5}$ u², respectivamente, entonces calcule el volumen (en u³) del sólido limitado por la pirámide.

Las aristas de un ángulo triedro de vértice O es intersecado por un plano en los puntos A, B y C de modo que $\overline{OA}$ es perpendicular al plano. El área de la región triangular ABC es $\dfrac{\sqrt3}{2}$ veces el área de la región triangular BOC. ¿Cuál es la medida en grados sexagesimales del ángulo diedro BC?