Geometría

En la figura $AB$ y $CD$ son segmentos tangentes a la circunferencia de centro O en A y C respectivamente. Si $CD = 15 u$, $AB = 5 u$ y $AP = 5 u$, entonces ¿cuál es la longitud (en u) de $PQ$?

El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución es un rectángulo cuya diagonal mide $13$ u. Si la generatriz del cilindro mide $5$ u, calcule su volumen en $\text{u}^3$.

En la figura se muestra un alambre de longitud $r$ y un polígono regular de $n$ lados y longitud de lado $L$. Si el punto $P$ gira en el sentido indicado, formando arcos de circunferencias hasta envolver una sola vez todo el contorno de la región poligonal, entonces ¿cuál es la longitud que recorre el punto $P$?

Un poliedro convexo está formado por $4$ regiones triangulares y $5$ regiones cuadrangulares. Calcule el número de diagonales del poliedro.

Dos círculos menores de una esfera están contenidos en planos que forman un ángulo diedro de $135^\circ$, cuyas circunferencias tienen un punto en común y las áreas de los círculos menores miden $9\pi$ y $16\pi$. Calcule la longitud (en u) del radio de la esfera..

En un triángulo escaleno $ACB$, recto en $C$, se traza $CD\perp AB$, con $D\in AB$. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

I. $\angle BAC\cong\angle BCD$.

II. $AD=DB$.

III. $(AD)(DB)=(CD)^2$.

En la figura mostrada, el triángulo ABC es recto en B y $AM=20$ m. Calcule aproximadamente el área máxima (en $m^2$) de la región sombreada.

En un triángulo $ABC$ se traza la ceviana $BD$. Se sabe que

Calcule la longitud de $BD$.

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita y la exinscrita al triángulo son tangentes al lado $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Si

calcule $MN$.

Un prisma triangular regular está circunscrito a una esfera de radio $r$. Determine el área total del prisma.

En una circunferencia $C$, se inscribe un polígono regular $ABCDEF$ (un hexágono regular). Por el punto $A$ se traza una recta tangente $\mathcal{L}$ a la circunferencia $C$. Las proyecciones ortogonales de los puntos $B$ y $E$ sobre la recta $\mathcal{L}$ son $B'$ y $E'$, respectivamente. Calcule el valor de $\dfrac{BB'}{EE'}$.

En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a un cateto interseca perpendicularmente a la mediana relativa a la hipotenusa. Si la longitud de la hipotenusa es $5\sqrt3$ u, entonces la longitud (en u) de uno de los catetos es:

Sean "$\alpha$" y "$\beta$" las medidas de dos ángulos, tal que la suma de sus complementos es el doble del suplemento del ángulo cuya medida es "$\alpha$". Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.

I. $\alpha+\beta=180°$

II. $\alpha>\beta$

III. $\alpha-\beta>90°$

Marque la alternativa correcta.

En un segmento esférico de dos bases cuya altura mide "$h$", se traza un plano equidistante a las bases que determina una sección cuyo radio mide "$r$". Calcule el volumen del segmento esférico.

En un paralelepípedo rectangular, las diagonales de sus caras miden $\sqrt{34}$ cm, $\sqrt{58}$ cm y $\sqrt{74}$ cm, respectivamente. Calcule (en cm³) el volumen del sólido determinado por dicho paralelepípedo.

En un cilindro oblicuo, su sección recta tiene área 2 m² y el área de la base es 4 m². Calcule (en grados sexagesimales) la medida del ángulo que forman la generatriz y la altura.

En un trapecio circular, los arcos que lo limitan miden "$x$" e "$y$" (en cm), con $x>y$. Si el área (en cm²) de su región correspondiente es:

$\frac{x^2-y^2}{2},$

calcule la medida del ángulo central (en radianes) del sector circular al que pertenece.

Un poliedro convexo está formado por seis regiones cuadrangulares y doce regiones triangulares. ¿Cuál es el número de vértices de este poliedro?

En una figura, $P$ y $Q$ son puntos de tangencia de dos rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto exterior $R$, el punto $O$ es el centro de la circunferencia, $M$ y $N$ son puntos sobre la circunferencia entre las tangencias, y la medida del arco menor $MN$ es 40°. En una de las intersecciones auxiliares del gráfico se marca un ángulo de 100°. Calcule el valor de "$x$" (el ángulo formado en $R$ entre las dos tangentes), en grados sexagesimales.

En una figura, $AB$, $A_1B_1$, $A_2B_2, \ldots, A_nB_n$ son arcos de circunferencia concéntricos, con centro en el punto $O$, cuyas longitudes son $L, \dfrac{L}{2}, \dfrac{L}{4}, \ldots, \dfrac{L}{2^n}$, respectivamente. Además, la suma de las longitudes de dichos arcos es $63\pi$ u y $\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{32}$, donde $R$ es el radio del arco mayor $AB$ y $r$ es el radio del arco menor $A_nB_n$.

Calcule el valor de $L$ (en u).