Ejercicio de Geometría — UNMSM

💡 Idea clave: en un trapecio, las diagonales al cruzarse forman dos triángulos semejantes entre las bases paralelas (el triángulo superior BMC y el triángulo inferior DMA), con razón de semejanza igual a la razón entre las bases paralelas BC y AD.

1. Como AB = 120 cm es un lado del trapecio, y notando que en la figura se forma un triángulo rectángulo con AB como hipotenusa y AD = 160 cm como uno de los catetos del gráfico general, hallamos la altura total del trapecio (distancia entre BC y AD) usando el teorema de Pitágoras cuando corresponde a la disposición del triplay: la altura total resulta ser 120 cm (asociada directamente al lado AB, que en este trapecio es perpendicular a las bases).
2. Como BC ∥ AD, los triángulos BMC y DMA son semejantes por tener ángulos alternos internos iguales (por el paralelismo) y ángulos opuestos por el vértice en M: $\triangle BMC \sim \triangle DMA$
3. La razón de semejanza es la razón entre las bases paralelas: $\frac{BC}{AD} = \frac{80}{160} = \frac{1}{2}$
4. Esta razón también se aplica a las alturas de ambos triángulos respecto a la altura total del trapecio (120 cm). Si h es la altura del triángulo BMC (medida desde M hasta BC) y (120 − h) es la altura del triángulo DMA: $\frac{h}{120-h} = \frac{80}{160} \Rightarrow 160h = 80(120-h) \Rightarrow 160h = 9600 - 80h \Rightarrow 240h = 9600 \Rightarrow h = 40$
5. Calculamos el área del triángulo BMC: $\text{Área}_{BMC} = \frac{(80)(40)}{2} = 1600 \text{ cm}^2$

Respuesta: E) 1600 cm²