Admi-Tec
Difícil
Ecuación cuadrática
UNMSM · 2025

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Las cantidades enteras de dinero, en soles, que tienen dos hermanos coinciden con las raíces de un polinomio mónico de segundo grado, cuya suma de coeficientes es 0. Si la diferencia entre dichas cantidades es 8, determine la cantidad de soles que tienen en total ambos hermanos.

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  1. Sea P(x)=x2+bx+cP(x)=x^2+bx+c el polinomio mónico, con raíces x1x_1 y x2x_2 (las cantidades de dinero de los hermanos).
  2. Como la suma de sus coeficientes es 0, se cumple P(1)=1+b+c=0P(1)=1+b+c=0, de donde c=−1−bc=-1-b.
  3. Usamos la identidad de Legendre: (x1+x2)2−(x1−x2)2=4x1x2(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4x_1x_2; como x1+x2=−bx_1+x_2=-b (suma de raíces) y x1−x2=8x_1-x_2=8 (diferencia dada), y x1x2=cx_1x_2=c (producto de raíces), se obtiene (−b)2−64=4c(-b)^2-64=4c.
  4. Sustituyendo c=−1−bc=-1-b en la ecuación anterior: b2−64=4(−1−b)b^2-64=4(-1-b), es decir, b2+4b−60=0b^2+4b-60=0.
  5. Resolviendo esta ecuación cuadrática en b: b=−10b=-10 o b=6b=6; tomando el valor consistente con el contexto, se obtiene el polinomio P(x)=x2−10x+9P(x)=x^2-10x+9, cuyas raíces son 1 y 9 (dos cantidades positivas de dinero con diferencia 8).
  6. La cantidad total de dinero entre ambos hermanos es la suma de las raíces: 1+9=101+9=10 soles. Respuesta: 10.