Álgebra

Luis es un caminante que, en cierto instante, recibe la informacion de que le falta recorrer $\|z\|$ km para llegar a su destino. Calcule dicha distancia, en kilometros, sabiendo que $z+\bar{z}=8$ y que $\text{Re}(\bar{z}) = 2\,\text{Im}(z)$, donde $z$ es un numero complejo ($z\in\mathbb{C}$).

Pedro camina siguiendo la trayectoria modelada por la grafica de la funcion $f(x) = -|x-6|(x-6) + 7$, desde el punto $A$ hacia el punto $B$, de abscisas $3$ y $8$ metros respectivamente. Determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones referidas al trayecto de Pedro.

I. Primero asciende y luego desciende siguiendo lineas rectas.

II. Primero desciende y luego asciende siguiendo lineas rectas.

III. Desciende en todo su trayecto a lo largo de una linea curva.

La suma de las edades de dos hermanos es igual a la suma de los minimos valores enteros del dominio y del rango de la funcion $f$ definida por:

$f(x) = 2 + \dfrac{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}{\sqrt{x - 2}}$

Determine dicha suma en anos.

Javier tiene un jardin de forma cuadrada, cuyo lado mide $n$ metros, y desea cercarlo. Cada metro de cerca cuesta $10$ soles. Calcule cuanto gastaria Javier, en soles, como minimo, si el grado absoluto del polinomio

$P(x,y) = 2^{2n}x^{n-2}y^{2n-3} + x^{n-3}y^{2n-5}$

es igual a $10$.

Cada hora se monitorea la temperatura de un cultivo de bacterias mediante $T(t) = t^2 - 2nt + 50$, con $0 \le t \le 10$, donde «$n$» es el exponente de $(x^6+y^{-3})^n$, cuyo quinto término tiene parte literal $x^{12}y^{-12}$. Determine, en grados centígrados, la temperatura mínima alcanzada por el cultivo.

En un río se construyó un muro de contención de $|b-a|$ metros de altura. Halle dicha altura si se sabe que $\langle a,b\rangle$ es el dominio de la función $f(x) = \log\left(\log_x\left(\dfrac{3x+32}{3x-1}\right)-1\right)$, con $x>1$.

El número de hijos de Juan es $b-a$, donde $[a,b]$ es el dominio en el que la función $f(x) = |-x^2+2ax+4-a^2|$, con $a>0$, es inyectiva. Determine cuántos hijos tiene Juan.

En navegación, la posición de un barco se puede representar con el número complejo $z = a+bi$. Halle la distancia que separa, en kilómetros, a dos barcos cuyas posiciones son $z_1 = (1-i)^2(1+i)$ y $z_2 = (1+i)^3$.

En un día de descanso, Luis Alberto se sometió a una prueba para registrar la metabolización del azúcar en su sangre, la que se llevó a cabo en un intervalo de tiempo de seis a doce horas. Se observó que la cantidad de azúcar en la sangre (medida en mg/dL) podía ser modelada en función del tiempo $t$ (medido en horas) por: $F(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 104,\quad t \in [6;12]$

Determine la disminución de azúcar en la sangre, en mg/dL, que experimentó Luis Alberto, exactamente, cuatro horas después de iniciada la prueba.

Alberto y Benito son hermanos. Sus edades, en años, están representadas por dos números enteros cuyo producto es 48. Además, la diferencia de las cuartas potencias de la suma y diferencia de ambos números es 38 400. Determine la suma de los cuadrados de los dos números que representan dichas edades.

Dados los números complejos $z_1 = 3 + 2i$ y $z_2 = 4 + i$, determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:

I. El producto de ambos es $z_1 \cdot z_2 = 10 + 11i$.

II. El módulo de la diferencia de ellos es $|z_2 - z_1| = |-1-i| = \sqrt{2}$.

III. La suma de sus conjugados es $\overline{z_1} + \overline{z_2} = -7 - 3i$.

IV. El cociente de ambos es $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{4} + 2i$.

Dada la función "f", definida por f(x) = 3x − 6; x ∈ [0; 4], determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. "f" es una función decreciente. II. |f| no es biyectiva. III. Si "g" es una función definida por g(x) = |−f(x)| + f(x), entonces la función inversa de "g" existe.

En el interior de un condominio, hay un área de entretenimiento que tiene la forma de dos regiones rectangulares adyacentes: la región I es un jardín, con dimensiones (2x − 8) y (x − 2); y la región II está destinada para juegos infantiles, con dimensiones (2x + 3) y (x − 3). Se sabe que el área de la región I más el doble del área de la región II, numéricamente, es un valor mayor que 238, pero menor que 418. Si x ∈ ℤ, determine el perímetro, en metros, de la región destinada para juegos infantiles.

Continuando con el modelo de la campaña de vacunación (ver pregunta anterior): f(t) = 12 − t representa (en decenas) el número de niños que padecen la enfermedad, y g(t) = 3t representa (en decenas) el número de niños vacunados, ambas con 0 ≤ t ≤ 12.

Desde el inicio de la campaña de vacunación, ¿cuántos meses debieron transcurrir para que la diferencia entre el número de niños vacunados y el número de niños que padecieron dicha enfermedad fuese 80?

En un distrito de Lima, se han presentado casos de una determinada enfermedad infantil contagiosa. Con el fin de disminuir los casos de contagio, un grupo de estudiantes de Enfermería de la UNMSM realizó una campaña de vacunación.

Se determinó que, luego de "t" meses de iniciada la campaña, el número de niños que padecen dicha enfermedad (en decenas) está modelado por la función f(t) = 12 − t; 0 ≤ t ≤ 12. Además, entre los no infectados, el número de niños vacunados (en decenas) está determinado por g(t) = 3t; 0 ≤ t ≤ 12.

Determine después de cuántos meses de iniciada la campaña de vacunación coinciden el número de niños vacunados y el número de niños que padecen dicha enfermedad.

Lea el siguiente texto y responda :

Una chicharronería ofrece dos tipos de combos durante la hora del desayuno: el combo A comprende un pan con chicharrón y una bebida caliente; el combo B, un pan con chicharrón, una bebida caliente y un postre. El costo de cada pan con chicharrón y cada bebida caliente es el mismo en ambos combos. Además, se sabe que hubo una alta demanda el domingo y se vendieron 80 combos en total, de los cuales se obtuvo un ingreso de S/ 1266.

Al realizar el control de inventario, se determinó que el ingreso total generado por la venta de los combos B fue S/ 534 mayor que el ingreso obtenido por la venta de los combos A. Además, la cantidad de combos B vendidos fue 10 unidades menor que el doble de la cantidad de combos A vendidos.

¿Cuántos combos más del tipo B con respecto a los del tipo A se vendieron?

Durante un control médico ocupacional a un paciente, se le realiza un análisis de glucosa en ayunas. Con el fin de reducir posibles errores de medición, el laboratorio registra las lecturas usando el mismo instrumento de análisis. Posteriormente, al paciente se le administra un medicamento que hace fluctuar progresivamente su nivel de glucosa en sangre antes de estabilizarse. Si "t" representa el tiempo en horas después de ser administrado el fármaco y el nivel de glucosa del paciente se modela por la función $G(t)=-5t^2+30t+65$ mg/dL, ¿cuál es la suma de los tiempos, en horas, en que el nivel de la glucosa en el paciente alcanzó los 105 mg/dL?

Lea el siguiente texto y responda :

Una chicharronería ofrece dos tipos de combos durante la hora del desayuno: el combo A comprende un pan con chicharrón y una bebida caliente; el combo B, un pan con chicharrón, una bebida caliente y un postre. El costo de cada pan con chicharrón y cada bebida caliente es el mismo en ambos combos. Además, se sabe que hubo una alta demanda el domingo y se vendieron 80 combos en total, de los cuales se obtuvo un ingreso de S/ 1266.

Al realizar el control de inventario, se determinó que el ingreso total generado por la venta de los combos B fue S/ 534 mayor que el ingreso obtenido por la venta de los combos A. Además, la cantidad de combos B vendidos fue 10 unidades menor que el doble de la cantidad de combos A vendidos.

¿Cuál es la suma de precios del pan con chicharrón, la bebida caliente y el postre?

Un examen consta de 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco. Cada respuesta correcta suma 1 punto, mientras que cada respuesta incorrecta resta 0,5 puntos. Al finalizar, la nota alcanzada por un alumno es 80,5 puntos sobre 100. Calcule la diferencia entre el número de preguntas correctas e incorrectas.

Sea $f: B \to \mathbb{R}$ una función definida por:

$f(x) = \ln[\log_{1/3}(7-x^2)]$

donde $B = Dom(f) \subset \mathbb{R}$. ¿Cuál es la cantidad de números enteros que posee el conjunto B?