Álgebra

Sea $A$ una matriz cuadrada. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. Si $A$ es antisimétrica, entonces puede tener un elemento no nulo en su diagonal principal.

II. La matriz $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.

III. Si $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica $B$ con una antisimétrica $C$, entonces existe una matriz antisimétrica $M\ne C$ y una matriz simétrica $N\ne B$ tales que $A=M+N$.

Marque la alternativa que contenga la secuencia correcta.

Resuelva la ecuación

e indique el valor de $x$.

¿Cuál es la relación entre los números reales $x$ e $y$ para que el número complejo

sea un número imaginario puro?

Dado el conjunto

determine

Sea $S$ el conjunto solución de

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:

I. Existe un único $x_0\in\mathbb R$ tal que $x_0\in S$.

II. La suma de los elementos de $S$ es $-7$.

III. Si $x\in S$, entonces $x>-4$.

Marque la alternativa que contenga la secuencia correcta.

Determine el conjunto solución del sistema

Indique como respuesta la suma de las coordenadas de todos los puntos solución.

La región admisible está determinada por

Determine el punto $(x_0,y_0)$ que minimiza

Indique como respuesta $x_0+y_0$.

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ una función cuya regla de correspondencia es

Indique la afirmación correcta respecto de su gráfica.

Calcule el valor de la serie

Sea

una función sobreyectiva cuya regla es

Calcule $a+b$.

En un triángulo equilátero de lado 1, existen infinitos círculos tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo, que se van aproximando a cada uno de los tres vértices: en el centro del triángulo hay un círculo grande, y hacia cada vértice se acumula una sucesión decreciente de círculos cada vez más pequeños, todos tangentes a los dos lados que forman ese vértice y tangentes al círculo anterior de la sucesión.

Si el triángulo tiene lados que miden una unidad de longitud, determine el área total de los círculos.

Se tiene la ecuación matricial:

$A^{-1} X A^{-1} = I, \quad I \text{ matriz identidad;} \qquad A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Calcule $X + 9X^{-1}$. Dé como respuesta la suma de sus elementos.

Sean los conjuntos $A$ y $B$ diferentes del vacío, de manera que existe $b \in B$, tal que $a < b$, $\forall a \in A$.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. $\forall b \in B, \exists a \in A$, tal que $b < a$

II. $\forall a \in A, \forall b \in B, b < a$

III. $B \subseteq A$

Marque la secuencia correcta.

La expresión $z = 3x - 4y$ es la función objetivo de un problema de programación lineal (minimización), donde la región factible es la región triangular sombreada con vértices en $(0;0)$, $(0;2)$ y $(3;0)$.

¿Cuál de las siguientes expresiones puede reemplazar a $z = 3x - 4y$ para obtener la misma solución óptima?

En las gráficas descritas, escriba "$h$" en función de "$x$", y "$\ell$" en función de "$y$".

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. "$h$" es máximo para $x = \dfrac{3}{2}$

II. $h + \ell = -3 + 3x - x^2 + \dfrac{y}{3} + \sqrt{9-y}$

III. "$h$" es una función inyectiva.

Marque la secuencia correcta.

Determine el conjunto solución de la inecuación:

$\sqrt{x^2+4x+15} < x+1$

Encuentre los pares ordenados $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ que son solución del sistema de ecuaciones:

$x^2+y^2=16 \quad \wedge \quad y=\frac{x^2}{6}$

Dado el sistema:

$2x_1+3x_2+10x_3=1$

$-2x_1+2x_2+12x_3=2$

$4x_1+x_2-2x_3=-1$

Determine cuál de las siguientes expresiones paramétricas representa al conjunto solución:

I. $x_1=-\dfrac{2}{5}-t,\quad x_2=-\dfrac{13}{5}+2t,\quad x_3=-5t,\ t\in\mathbb R$

II. $x_1=-\dfrac{2}{5}+t,\quad x_2=\dfrac{8}{5}-t,\quad x_3=-5t+1,\ t\in\mathbb R$

III. $x_1=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{5}t,\quad x_2=\dfrac{3}{5}-\dfrac{22}{5}t,\quad x_3=t,\ t\in\mathbb R$

Indique la alternativa correcta.

Dada la hipérbola de ecuación:

$4x^2-24x-y^2-4y+41=0,$

calcule las coordenadas del vértice que se encuentra más cerca al origen de coordenadas.

Sean las funciones:

$f: \langle 0;+\infty\rangle \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln x$

$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \frac{1}{e^{|x|}}$

Determine el rango de la función compuesta $g \circ f$.