Ejercicio de Función exponencial y logarítmica

En un río se construyó un muro de contención de $|b-a|$ metros de altura. Halle dicha altura si se sabe que $\langle a,b\rangle$ es el dominio de la función $f(x) = \log\left(\log_x\left(\dfrac{3x+32}{3x-1}\right)-1\right)$ , con $x>1$ .

Ver solución paso a paso

En cadenas de logaritmos, conviene "pelar" la función de afuera hacia adentro: primero exigir que el argumento del logaritmo más externo sea positivo, y recién ahí trabajar el logaritmo interno.

Para que $f(x)$ exista, se necesita $\log_x\left(\dfrac{3x+32}{3x-1}\right) - 1 > 0$ , es decir, $\log_x\left(\dfrac{3x+32}{3x-1}\right) > 1$ .
Como la base $x > 1$ , esta desigualdad logarítmica equivale a $\dfrac{3x+32}{3x-1} > x$ , siempre que el argumento del logaritmo interno sea también positivo.
La condición $\dfrac{3x+32}{3x-1} > 0$ se cumple automáticamente para $x>1$ (numerador y denominador son positivos en ese rango).
Resolviendo $\dfrac{3x+32}{3x-1} - x > 0$ , se lleva a una sola fracción y se factoriza el numerador, obteniéndose una desigualdad equivalente a: $\frac{(3x+8)(x-4)}{3x-1} < 0$
Analizando el signo de esta expresión racional junto con $x>1$ , el conjunto solución es el intervalo $(1;4)$ .
Entonces $a=1$ , $b=4$ , y la altura del muro es $|b-a| = |4-1| = 3$ metros.

Ejercicio de Álgebra — UNMSM