Ejercicio de Sucesiones y series numéricas

En un triángulo equilátero de lado 1, existen infinitos círculos tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo, que se van aproximando a cada uno de los tres vértices: en el centro del triángulo hay un círculo grande, y hacia cada vértice se acumula una sucesión decreciente de círculos cada vez más pequeños, todos tangentes a los dos lados que forman ese vértice y tangentes al círculo anterior de la sucesión.

Si el triángulo tiene lados que miden una unidad de longitud, determine el área total de los círculos.

Ver solución paso a paso

(Pista: primero calcula el radio del círculo inscrito más grande usando la fórmula del inradio de un triángulo equilátero; luego, para las cadenas de círculos que se acercan a cada vértice, plantea una relación de tangencia entre dos círculos consecutivos apoyados en los lados de un ángulo de 60°, lo que te dará una razón geométrica constante entre radios sucesivos.)

1. El radio de la circunferencia inscrita en el triángulo equilátero de lado 1 (el círculo central) se calcula con la fórmula del inradio: $R = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt 3} = \dfrac{\sqrt3}{6}$ .

2. Para la cadena de círculos que se acumula en cada vértice (ángulo de 60°), se plantea la relación de tangencia entre dos círculos consecutivos de radios $R$ y $r$ , ambos apoyados en los dos lados del ángulo: usando la relación trigonométrica del ángulo de 30° (la mitad del ángulo del vértice) entre las distancias al vértice y las diferencias y sumas de los radios, se obtiene: $\frac{R-r}{R+r} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2R-2r = R+r \;\Rightarrow\; R = 3r$

3. De aquí, cada radio de la cadena es un tercio del anterior. Con $R = \dfrac{\sqrt3}{6}$ , el primer radio de cada cadena hacia un vértice es $r = \dfrac{\sqrt3}{18}$ , el siguiente $\dfrac{\sqrt3}{54}$ , el siguiente $\dfrac{\sqrt3}{162}$ , y así sucesivamente, formando una progresión geométrica de razón $\dfrac{1}{9}$ en las áreas (pues el área es proporcional al cuadrado del radio).

4. El área total es la del círculo central más tres veces la suma de las áreas de cada cadena infinita (una cadena por cada vértice, y son iguales entre sí por simetría): $A_T = \pi\left(\frac{\sqrt3}{6}\right)^2 + 3\left[\pi\left(\frac{\sqrt3}{18}\right)^2 + \pi\left(\frac{\sqrt3}{54}\right)^2 + \cdots\right]$

5. El primer término es $A_T = \dfrac{\pi}{12} + 3\left[\dfrac{\pi/108}{1-\frac{1}{9}}\right]$ (usando la fórmula de suma de una serie geométrica infinita de razón $\frac{1}{9}$ ).

6. Se simplifica: $A_T = \dfrac{\pi}{12} + 3\cdot\dfrac{\pi}{96} = \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{32}$ . Sumando ambas fracciones con denominador común 96: $A_T = \dfrac{8\pi}{96}+\dfrac{3\pi}{96} = \dfrac{11\pi}{96}$ .

Respuesta: 11π/96

Ejercicio de Álgebra — UNI