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Difícil
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UNMSM · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Cada hora se monitorea la temperatura de un cultivo de bacterias mediante T(t)=t2−2nt+50T(t) = t^2 - 2nt + 50, con 0≤t≤100 \le t \le 10, donde «nn» es el exponente de (x6+y−3)n(x^6+y^{-3})^n, cuyo quinto término tiene parte literal x12y−12x^{12}y^{-12}. Determine, en grados centígrados, la temperatura mínima alcanzada por el cultivo.

Ver solución paso a paso

Este problema combina dos temas en cadena: primero hay que "pescar" el valor de nn usando el binomio de Newton, y solo después se ataca la función cuadrática con ese valor ya fijado.

  1. En el desarrollo de (x6+y−3)n(x^6+y^{-3})^n, el quinto término corresponde a k=4k=4 (contando desde 00), con parte literal (x6)n−4(y−3)4(x^6)^{n-4}(y^{-3})^4.
  2. Igualando con x12y−12x^{12}y^{-12}: el exponente de xx da 6(n−4)=12⇒n−4=2⇒n=66(n-4) = 12 \Rightarrow n-4 = 2 \Rightarrow n=6 (el exponente de yy ya es consistente para cualquier nn).
  3. Sustituyendo n=6n=6 en la función de temperatura: T(t)=t2−12t+50T(t) = t^2 - 12t + 50.
  4. Completando cuadrados: T(t)=(t−6)2+14T(t) = (t-6)^2 + 14
  5. Esta forma muestra que el vértice de la parábola —su valor mínimo— está en t=6t=6, con T=14T=14.
  6. Como t=6t=6 pertenece al intervalo permitido [0,10][0,10], ese mínimo sí se alcanza dentro del dominio: la temperatura mínima es 14 °C14\ °C.