Ejercicio de Álgebra — UNI

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Un polinomio de coeficientes racionales puede tener raíces complejas.

II. Sea $P(x)$ un polinomio de coeficientes reales que cumple $P(x) = -P(-x)$ . Si $z \in \mathbb{C}$ es raíz de $P(x)$ , entonces $-\bar z$ también lo es.

III. Sea $P(z)$ un polinomio de coeficientes complejos. Si $z$ es raíz de $P(z)$ , $\bar z$ también lo es.

Indique la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

(Pista: recuerda que el teorema de las raíces conjugadas solo aplica a polinomios de coeficientes reales, no a los de coeficientes complejos en general.)

1. (Evaluamos la proposición I) Todo polinomio de grado $n \geq 1$ , sin importar si sus coeficientes son racionales, reales o complejos, tiene al menos una raíz compleja (Teorema Fundamental del Álgebra). Por lo tanto, la proposición es verdadera.

2. (Evaluamos la proposición II) Si $P(x) = -P(-x)$ y $z$ es raíz de $P$ , entonces $P(z) = 0$ . Como $P$ tiene coeficientes reales, por el teorema de raíces conjugadas también se cumple $P(\bar z) = 0$ . Ahora, usando la condición del enunciado evaluada en $-z$ : $P(-z) = -P(z) = 0$ , y de manera similar $P(-\bar z) = -P(\bar z) = 0$ . Esto muestra que $-\bar z$ también es raíz de $P$ . La proposición es verdadera.

3. (Evaluamos la proposición III) El teorema de las raíces conjugadas (que garantiza que si $z$ es raíz, $\bar z$ también lo es) solo es válido para polinomios de coeficientes reales. Si el polinomio tiene coeficientes complejos arbitrarios, no se puede garantizar que $\bar z$ sea raíz. Por lo tanto, la proposición es falsa.

4. (Concluimos) La secuencia es VVF, que corresponde a la alternativa B.