Ejercicio de Geometría — UNMSM

En elipses parametrizadas con una constante $k$ desconocida, el primer movimiento suele ser identificar $a^2$ y $b^2$ por comparación directa, y de ahí construir $c$ con la relación $a^2 = b^2 + c^2$.

1. Comparando con la forma general de la elipse: $a^2 = 22400-k$ (semieje mayor) y $b^2 = 8000-k$ (semieje menor).
2. Restando: $a^2 - b^2 = 22400 - 8000 = 14400$; y como $a^2 - b^2 = c^2$ en una elipse, junto con el dato del problema se obtiene $c = 120$.
3. El dato $OB^2 = 480(F_1O)$ equivale a $a^2 = 480c$; sustituyendo $c=120$: $a^2 = 480(120) = 57600$, de donde $a = 240$.
4. Con esta relación entre $a$ y $c$, el ángulo que forma el segmento $\overline{PF_2}$ con el eje mayor resulta ser de $120°$, por lo que su pendiente es $\tan(120°) = -\sqrt{3}$.
5. Como la recta buscada es paralela a $\overline{PF_2}$, comparte esa pendiente, y pasa por $B(240,0)$: $y - 0 = -\sqrt{3}(x-240) \;\Rightarrow\; y = -\sqrt{3}x + 240\sqrt{3}$
6. Reordenando: $\sqrt{3}x + y - 240\sqrt{3} = 0$.