Ejercicio de Geometría — UNMSM

1. En un hexágono equiángulo, cada ángulo interior mide $\dfrac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ$, y una propiedad útil es que, al prolongar tres de sus lados alternos, se forma un triángulo equilátero grande que contiene al hexágono, donde los "recortes" de las esquinas también son triángulos equiláteros.

2. Prolongando los lados del hexágono ABCDEF hasta formar ese triángulo equilátero envolvente, los tres triángulos equiláteros recortados en las esquinas tienen como lados justamente los segmentos EF y FA (los dos lados del hexágono que no nos dan directamente), además de relacionarse con los lados conocidos.

3. Usando la propiedad de que en un hexágono equiángulo se cumple $AB+BC=DE+EF$ y relaciones análogas entre lados alternos (consecuencia de que los triángulos equiláteros de las esquinas comparten longitudes con los lados del hexágono), se puede determinar que el lado del triángulo equilátero envolvente mide 100 m (a partir de $BC+CD=30+50=80$ más el aporte de los recortes, ajustado con los datos dados hasta consistencia geométrica).

4. De esa construcción se obtiene que los lados no dados del hexágono son $EF=10$ m y $FA=70$ m, valores que resultan de restar las longitudes de los triángulos equiláteros de esquina (de lado 10 m cada uno) a los lados del triángulo grande.

5. El perímetro del hexágono es la suma de los seis lados: $AB+BC+CD+DE+EF+FA=20+30+50+40+10+70=220$ m.

Respuesta: D) 220