Ejercicio de Operadores matemáticos

Sean los operadores $\triangle$ y $\nabla$ definidos por

$\triangle(ax^2+bx+c)=2ax+b,$

$\nabla(ax^2+bx+c)=\frac13ax^3+\frac12bx^2+cx.$

$P(x)=729x^2-512x+8,$

calcule la suma de coeficientes del polinomio resultante al reducir

x\triangle\left(\frac{\nabla\left(x\triangle\left(\frac{\nabla P(x)}{x}\right)\right)}{x}\right).

Ver solución paso a paso

Pista: trabaja desde el centro hacia afuera; $\nabla$ actúa como una antiderivación sin constante y $\triangle$ como una derivación sobre el polinomio cuadrático.

1. Primero aplicamos $\nabla$ a $P(x)$ :

\nabla P(x)=\frac{729}{3}x^3+\frac{-512}{2}x^2+8x =243x^3-256x^2+8x.

Al dividir entre $x$ :

$\frac{\nabla P(x)}{x}=243x^2-256x+8.$

2. Aplicamos $\triangle$ y multiplicamos por $x$ :

$\triangle(243x^2-256x+8)=486x-256,$

$x(486x-256)=486x^2-256x.$

3. Aplicamos $\nabla$ al nuevo polinomio:

$\nabla(486x^2-256x)=162x^3-128x^2.$

Dividimos entre $x$ :

$162x^2-128x.$

4. Aplicamos $\triangle$ y multiplicamos nuevamente por $x$ :

$\triangle(162x^2-128x)=324x-128,$

$x(324x-128)=324x^2-128x.$

5. La suma de coeficientes es el valor del polinomio en $x=1$ :

$324-128=196.$

Respuesta: C

Ejercicio de Habilidad Lógico-Matemática — UNI