Ejercicio de Álgebra

1. Para que $\log_2(\sqrt{2x})$ exista, se requiere $2x>0$, es decir $x>0$. Entonces $|x|=x$.
2. Se simplifica el lado derecho: $4^{\log_2(\sqrt{2x})} = 2^{2\log_2(\sqrt{2x})} = 2^{\log_2((\sqrt{2x})^2)} = (\sqrt{2x})^2 = 2x$.
3. La ecuación queda: $\log(x)+x^2+4=2x$, es decir $g(x)=\log(x)+(x-1)^2+3=0$ (usando $x^2-2x+4=(x-1)^2+3$).
4. Como $(x-1)^2+3\geq3$ para todo $x$, se necesita $\log(x)\leq-3$ aproximadamente para que $g(x)=0$ sea posible, lo cual ocurre solo para $x$ muy pequeño (cercano a 0).
5. Analizando el comportamiento: cuando $x\to0^+$, $\log(x)\to-\infty$ y $g(x)\to-\infty$; en $x=1$, $g(1)=3>0$. Se verifica que $g$ tiene un único cambio de signo (una única raíz) en el intervalo $(0,001; 0,01)$ aproximadamente, y permanece positiva para el resto de su dominio (se descartan cruces adicionales al revisar los puntos críticos de $g$).
6. Por lo tanto, la ecuación tiene una única solución real.

Respuesta: C) 1