Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: usa la propiedad de la altura de un tetraedro regular en función de la arista, y arma triángulos rectángulos notables con los segmentos AL, LH y HM.)

1. (Fijamos la arista del tetraedro) Tomamos $AB = 6a$ como arista del tetraedro regular ABCD.

2. (Calculamos la altura del tetraedro) Por la propiedad de los tetraedros regulares, la altura desde un vértice hasta la base opuesta mide $DH = 2a\sqrt6$ para una arista de $6a$. Como el dato indica $AL = DH$, entonces $AL = 2a\sqrt6$ también.

3. (Analizamos el triángulo ALH) En el triángulo rectángulo ALH (rectángulo en H, pues DH es perpendicular a la base), usamos que $AH$ es el circunradio de la base equilátera, y con las medidas notables de este triángulo se obtiene $LH = 2a\sqrt3$.

4. (Analizamos el triángulo LHM) Con $LH = 2a\sqrt3$ y $HM$ calculado a partir de la geometría de la base equilátera, el triángulo LHM resulta ser un triángulo notable de $53°/2$, de donde el ángulo buscado $x = \dfrac{53°}{2}$ cumple $\tan x = \dfrac{1}{2}$.

5. (Concluimos) Por lo tanto, $m\angle HLM = \arctan\dfrac{1}{2}$, que corresponde a la alternativa C.