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Medio
División Algebraica
PUCP · 2026

Ejercicio de Álgebra — PUCP

Determine el residuo de: (x−1)4+1x2−1\dfrac{(x-1)^4+1}{x^2-1}.

Ver solución paso a paso

Pista: Usa el teorema del resto: como el divisor es x2−1x^2-1, evalúa el dividendo considerando que x2=1x^2=1 en el resto.

1. Aplicar el teorema del resto con divisor x2−1=0⇒x2=1x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1.

2. Reescribir el numerador en términos que permitan usar x2=1x^2=1: (x−1)4+1=((x−1)2)2+1=(x2−2x+1)2+1(x-1)^4+1=\left((x-1)^2\right)^2+1=(x^2-2x+1)^2+1.

3. Sustituir x2=1x^2=1: (1−2x+1)2+1=(2−2x)2+1(1-2x+1)^2+1=(2-2x)^2+1.

4. Desarrollar: (2−2x)2+1=4x2−8x+4+1=4x2−8x+5(2-2x)^2+1=4x^2-8x+4+1=4x^2-8x+5, y sustituyendo nuevamente x2=1x^2=1: 4(1)−8x+5=−8x+94(1)-8x+5=-8x+9.

5. Concluir que el resto de la división es −8x+9-8x+9.