Ejercicio de Geometria analitica - ecuacion de la recta

Un grafitero ha diseñado el dibujo de una parábola y una circunferencia en la pared de su cuarto. La ecuación de la circunferencia es $\mathscr{C}: x^2+y^2-8x=0$ ; el segmento AB es el lado recto de la parábola y pasa por $O_1$ , que es el centro de la circunferencia. Halle la ecuación de la parábola.

Ver solución paso a paso

Completar cuadrados en la ecuación de la circunferencia: $x^2+y^2-8x=0 \Rightarrow (x-4)^2+y^2=4^2$ , de donde el centro es $O_1=(4,0)$ y el radio mide 4.
Como AB es el lado recto de la parábola y, según la figura, pasa por el centro $O_1$ de la circunferencia, el foco de la parábola coincide con $O_1=(4,0)$ .
Usar que la longitud del lado recto es $4p$ (con $p$ la distancia del vértice al foco); como el lado recto coincide con el diámetro de la circunferencia (8), se cumple $4p=8$ , de donde $p=2$ .
Ubicar el vértice de la parábola a una distancia $p$ del foco, sobre el eje: $V=(2,0)$ .
Escribir la ecuación de la parábola con vértice $(2,0)$ , eje horizontal y abertura hacia la derecha: $(y-0)^2=4(2)(x-2)$ , es decir, $y^2=8x-16$ , o bien $y^2-8x+16=0$ .

Ejercicio de Geometría — UNMSM