Ejercicio de Ecuaciones e Inecuaciones

Sea $S$ el conjunto solución de

\sqrt[3]{2x+7}+\sqrt[3]{x+3}=1.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:

I. Existe un único $x_0\in\mathbb R$ tal que $x_0\in S$ .

II. La suma de los elementos de $S$ es $-7$ .

III. Si $x\in S$ , entonces $x>-4$ .

Marque la alternativa que contenga la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

Pista: haz $t=\sqrt[3]{x+3}$ . Así, $x=t^3-3$ y el otro radical queda expresado en función de $t^3$ .

1. Sea

t=\sqrt[3]{x+3}\Rightarrow x=t^3-3.

Entonces

2x+7=2(t^3-3)+7=2t^3+1.

La ecuación se convierte en

\sqrt[3]{2t^3+1}+t=1.

2. Aislamos el radical y elevamos al cubo:

\sqrt[3]{2t^3+1}=1-t,

2t^3+1=(1-t)^3=1-3t+3t^2-t^3.

Por tanto,

3t^3-3t^2+3t=0 \Rightarrow t(t^2-t+1)=0.

Como $t^2-t+1>0$ para todo real, se obtiene $t=0$ .

3. Así,

x=t^3-3=-3,

y $S=\{-3\}$ .

4. I es verdadera, II es falsa porque la suma vale $-3$ , y III es verdadera porque $-3>-4$ . La secuencia es $V,F,V$ .

Respuesta: B

Ejercicio de Álgebra — UNI