Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Redefinimos la funcion por tramos, segun el signo de $(x-6)$:

• Si $x - 6 \geq 0$ (es decir, $x \geq 6$): $|x-6| = x-6$, entonces $f(x) = -(x-6)(x-6) + 7 = -(x-6)^2 + 7$.
• Si $x - 6 < 0$ (es decir, $x < 6$): $|x-6| = -(x-6)$, entonces $f(x) = (x-6)(x-6) + 7 = (x-6)^2 + 7$.

Evaluamos en los extremos del trayecto: $f(3) = (3-6)^2 + 7 = 9 + 7 = 16$ (punto $A$), y $f(8) = -(8-6)^2 + 7 = -4 + 7 = 3$ (punto $B$).

Para $x < 6$, la funcion $f(x) = (x-6)^2 + 7$ es una parabola (curva) que decrece a medida que $x$ se acerca a 6 desde la izquierda (ya que el vertice de esa parabola esta en $x=6$); por lo tanto, entre $A$ ($x=3$, $f=16$) y $x=6$, la trayectoria desciende siguiendo una curva, no una recta.

Para $x \geq 6$, la funcion $f(x) = -(x-6)^2+7$ tambien es una parabola (curva) que decrece a medida que $x$ se aleja de 6 hacia la derecha; por lo tanto, entre $x=6$ y $B$ ($x=8$, $f=3$), la trayectoria continua descendiendo, tambien siguiendo una curva.

En consecuencia: la proposicion I (que asciende y luego desciende en lineas rectas) es Falsa; la proposicion II (desciende y luego asciende en lineas rectas) es Falsa, porque en realidad desciende todo el tiempo (no asciende en ningun tramo) y ademas no son lineas rectas sino curvas; y la proposicion III (desciende en todo su trayecto a lo largo de una linea curva) es Verdadera, ya que en ambos tramos la funcion es una parabola decreciente.

Por lo tanto, la secuencia de valores de verdad es FFV.