Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Para hallar el dominio, exigimos que ambas expresiones bajo raiz cuadrada sean validas: el numerador requiere $x^2 - 6x + 8 \geq 0$, y el denominador (que ademas no puede ser cero, al estar dividiendo) requiere $x - 2 > 0$.

Factorizando: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) \geq 0$. Esta desigualdad se cumple cuando $x \leq 2$ o $x \geq 4$.

Combinando con la condicion $x > 2$ (del denominador), la interseccion de ambas condiciones da como resultado $x \geq 4$.

Por lo tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = [4;\ +\infty\rangle$, y su minimo valor entero es $4$ (la primera "edad").

Para hallar el rango, observamos que si $x \geq 4$, entonces $x - 4 \geq 0$, por lo que $\sqrt{x-4} \geq 0$. Reescribiendo la funcion en esa forma equivalente: $f(x) = 2 + \sqrt{x-4}$.

Como $\sqrt{x-4} \geq 0$, se cumple que $f(x) = 2 + \sqrt{x-4} \geq 2$.

Por lo tanto, el rango es $\text{Ran}(f) = [2;\ +\infty\rangle$, y su minimo valor entero es $2$ (la segunda "edad").

La suma de edades pedida es $4 + 2 = 6$ anos.