Ejercicio de Áreas y volúmenes — UNMSM

En el plano, la figura representa la cara lateral rectangular $ABCD$ de un contenedor inclinado con respecto al piso. Los vértices $B$ y $D$ se proyectan perpendicularmente sobre la línea del piso en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente (siendo $A$ el vértice apoyado sobre el piso). Si $\dfrac{BM}{AN} = \dfrac{1}{3}$ y $AD = 6\sqrt{5}$ m, halle el área, en metros cuadrados, de la región $ABCD$ .

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Llamemos $BM = k$ ; por el dato, $AN = 3k$ .
Los triángulos rectángulos $BMA$ y $AND$ son semejantes: ambos tienen un ángulo recto (en $M$ y en $N$ , por ser proyecciones perpendiculares al piso) y comparten el ángulo agudo que $ABCD$ forma con el piso (el ángulo de inclinación), ya que $AB$ y $AD$ son lados consecutivos y perpendiculares entre sí del rectángulo.
Por semejanza $\triangle BMA \sim \triangle AND$ , se cumple: $\frac{k}{3k} = \frac{BA}{6\sqrt{5}}$
Simplificando el lado izquierdo: $\dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3}$ , entonces: $\frac{1}{3} = \frac{BA}{6\sqrt{5}} \;\Rightarrow\; BA = 2\sqrt{5}$
Como $ABCD$ es un rectángulo, su área es el producto de sus dos lados $BA$ y $AD$ : $\text{Área}_{ABCD} = (6\sqrt{5})(2\sqrt{5}) = 12 \times 5 = 60 \text{ m}^2$

Respuesta: 60 m².

Ejercicio de Geometría — UNMSM