Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: hay una diferencia importante entre "la serie $\sum b_n$ converge a 1" y "la sucesión $b_n$ converge a 1" — son cosas distintas. Que una serie (una suma infinita) converja implica, como condición necesaria, que su término general tienda a cero, no a la suma total. Ese es el punto que hace funcionar todo el límite.

1. Del dato sobre $\{a_n\}$: $\lim_{n\to\infty}a_n=a$.

2. Del dato sobre la serie $\sum b_n$: para que una serie converja, su término general debe tender a 0 (si no, la suma "seguiría creciendo" indefinidamente). Entonces $\lim_{n\to\infty}b_n=0$ — independientemente de a qué valor converja la suma total de la serie.

3. Separamos el límite pedido usando las propiedades de límites (el límite de una suma/producto es el producto/suma de los límites, cuando cada uno existe): $\lim_{n\to\infty}\left[5a_n^2(1-b_n)+2a_nb_n\right]=5\left(\lim a_n\right)^2\left(1-\lim b_n\right)+2\left(\lim a_n\right)\left(\lim b_n\right)$

4. Sustituyendo $\lim a_n=a$ y $\lim b_n=0$: $5(a)^2(1-0)+2(a)(0)=5a^2+0=5a^2$.

Respuesta: C) $5a^2$