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UNMSM · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Dada la función "f", definida por f(x) = 3x − 6; x ∈ [0; 4], determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. "f" es una función decreciente.

II. |f| no es biyectiva.

III. Si "g" es una función definida por g(x) = |−f(x)| + f(x), entonces la función inversa de "g" existe.

Ver solución paso a paso

💡 Idea clave: una función lineal f(x) = mx + b es creciente si m > 0; además, la composición con valor absoluto casi siempre destruye la inyectividad, porque "dobla" la gráfica y hace que dos preimágenes distintas compartan la misma imagen.

  1. Proposición I: f(x) = 3x − 6 tiene pendiente m = 3 > 0, por lo tanto es una función creciente, no decreciente. (Falso)

  2. Proposición II: |f(x)| = |3x − 6|. Esta función "refleja" hacia arriba la parte negativa de f, generando un punto donde dos valores distintos de x dan la misma imagen (por ejemplo, valores equidistantes de x = 2, donde f se anula). Por lo tanto, |f| no es inyectiva y, en consecuencia, tampoco es biyectiva. (Verdadero)

  3. Proposición III: redefinimos g(x) = |−(3x−6)| + (3x−6) = |3x−6| + (3x−6). Analizando por tramos:

    • Si x ≤ 2 (donde 3x − 6 ≤ 0): |3x−6| = −(3x−6), entonces g(x) = −(3x−6) + (3x−6) = 0.
    • Si x > 2 (donde 3x − 6 > 0): |3x−6| = 3x−6, entonces g(x) = (3x−6) + (3x−6) = 6x − 12.

    Así, g(x)={0,x≤26x−12,x>2g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 2 \\ 6x-12, & x > 2 \end{cases}

    Se observa que g(0) = g(1) = g(2) = 0, es decir, varios valores de x distintos comparten la misma imagen. Por lo tanto, g no es inyectiva, y una función no inyectiva no puede tener inversa. (Falso)

Respuesta: C) FVF