Ejercicio de Álgebra — UNMSM

(Pista: despeja una variable de la segunda ecuación, reemplázala en la primera para obtener una ecuación cuadrática en una sola variable, y exige que su discriminante sea negativo para que las soluciones sean números complejos.)

1. (De la segunda ecuación se despeja $x = \dfrac{m+7}{y}$.)

2. (Se reemplaza esta expresión en la primera ecuación: $\dfrac{2(m+7)}{y} + y = m+1$.)

3. (Multiplicando toda la ecuación por $y$ y reordenando, se obtiene la ecuación cuadrática $y^2 - (m+1)y + 2(m+7) = 0$.)

4. (Para que las soluciones de esta ecuación cuadrática (y, por lo tanto, del sistema) sean números complejos, su discriminante debe ser negativo: $\Delta < 0$.)

5. (Se calcula el discriminante: $(m+1)^2 - 4(2)(m+7) < 0$, lo que al desarrollarse da $m^2 - 6m - 55 < 0$.)

6. (Factorizando la inecuación cuadrática: $(m-11)(m+5) < 0$, cuyos puntos críticos son $m = 11$ y $m = -5$.)

7. (Evaluando los signos en los intervalos determinados por estos puntos críticos, la inecuación se cumple para $m \in \langle -5, 11\rangle$.)

8. (Por lo tanto, la respuesta correcta es $\langle -5, 11\rangle$.)